Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh , cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy. Mặt phẳng (α) qua A và vuông góc với SC cắt các cạn SB, SC, SD lần lượt tại các điểm M, N, P. Tính th
Câu hỏi:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh , cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy. Mặt phẳng (α) qua A và vuông góc với SC cắt các cạn SB, SC, SD lần lượt tại các điểm M, N, P. Tính thể tích V của khối cầu ngoại tiếp tứ diện CMNP.
Trả lời:
Gọi O là tâm của hình vuông ABCD nên O là trung điểm của AC
Ta có: CD ^ AD; CD ^ SA
Suy ra CD ^ (SAD) hay CD ^ AP
Lại có: SC ^ AP (do SC ⊥ (α)); CD ⊥ AP
Suy ra AP ⊥ (SCD) ⇒ AP ⊥ CP ⇒ ΔAPC vuông tại P
⇒ OA = OC = OP
Tương tự, ta có: ΔAMC vuông tại M
⇒ OA = OC = OM
Lại có: SC ⊥ AN (do SC ⊥ (α))
Khi đó ΔANC vuông tại N nên OA = OC = ON
⇒ OA = OC = OP = OM = ON
Þ O là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện CMNP
Bán kính của khối cầu là: .
Thể tích khối cầu ngoại tiếp tứ diện CMNP là:
.
Vậy thể tích khối cầu ngoại tiếp tứ diện CMNP là .
