Cho hình hộp ABCD.A'B'CD' có tất cả các cạnh đều bằng 1 và các góc phẳng đỉnh
Câu hỏi:
Cho hình hộp ABCD.A'B'CD' có tất cả các cạnh đều bằng 1 và các góc phẳng đỉnh A đều bằng 60°. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB' và A'C'
A. \(\frac{{\sqrt {22} }}{{11}}\).
B. \(\frac{2}{{11}}\).
C. \(\frac{{\sqrt 2 }}{{11}}\).
D. \(\frac{3}{{11}}\).
Trả lời:
Đáp án đúng là: A
Ta có \(\widehat {BAA'} = \widehat {DAA'} = \widehat {BAD} = {60^ \circ }\) và AB = AD = AA’.
Khi đó ∆ABD, ∆ADA’ và ∆ABA’ và ∆ABA’ đều cạnh bằng 1 .
⇒ A’D = A’A = A’B = 1. Suy ra hình chiếu của A’ lên (ABCD) là tâm H của ∆ABD đều.
Ta có AB’ // DC’ ⇒ d(AB’; A’C’) = d(AB’; (DA’C’)) = d(H; (DA’C’)).
Dựng hình bình hành DCAJ. Từ H kẻ HK ⊥ DJ (K ∈ DJ), ta có HK // DB.
Từ H kẻ HL ⊥ A’K (L ∈ A’K) ⇒ HL ⊥ (DA’C’) ⇒ d(H; (DA’C’)) = HL.
Ta có: \(HK = \frac{1}{2},A'H = \sqrt {1 - {{\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt 6 }}{3}\).
Xét tam giác \(A'HK:\frac{1}{{H{L^2}}} = \frac{1}{{H{K^2}}} + \frac{1}{{A'{H^2}}} \Rightarrow HL = \frac{{\sqrt {22} }}{{11}}\).
Đáp án cần chọn là: A.
