Cho hình lăng trụ đứng ABC. A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a

Gọi M là trung điểm của BC và H là hình chiếu của A trên A’M.

Ta có :

$\left. {\begin{array}{*{20}{c}}{BC \bot AM}\\{BC \bot AA'}\end{array}} \right\}$ ⇒ BC ⊥ (AA’M) ⇒ BC ⊥ AH    (1).

Mà AH ⊥ A’M   (2).

Từ (1) và (2) ⇒ d(A, (A’BC)) = AH.

Ta có:  $\frac{{d\left( {O,\left( {A'BC} \right)} \right)}}{{d\left( {A,\left( {A'BC} \right)} \right)}} = \frac{{MO}}{{MA}} = \frac{1}{3}$ (do tính chất trọng tâm).

$\Rightarrow d\left( {A,\left( {A'BC} \right)} \right) = 3d\left( {O,\left( {A'BC} \right)} \right) = \frac{a}{2}$

$\Rightarrow AH = \frac{a}{2}$

Xét tam giác vuông A'AM :

$\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{A^{{\rm{'}}2}}}} + \frac{1}{{A{M^2}}}$

$\Leftrightarrow \frac{1}{{A{A^{{\rm{'}}2}}}} = \frac{4}{{{a^2}}} - \frac{4}{{3{a^2}}} \Leftrightarrow AA' = \frac{{a\sqrt 3 }}{{2\sqrt 2 }}$

Suy ra thể tích lăng trụ ABC.A’B’C’ là:

$V = AA' \cdot {S_{\Delta ABC}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{{2\sqrt 2 }} \cdot \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{3\sqrt 2 {a^3}}}{{16}}.$