Cho hình nón đỉnh S có đáy là hình tròn tâm O. Một mặt phẳng đi qua đỉnh hình

Câu hỏi:

Cho hình nón đỉnh S có đáy là hình tròn tâm O. Một mặt phẳng đi qua đỉnh hình nón và cắt hình nón theo một thiết diện là tam giác vuông SAB có diện tích bằng 4a². Góc giữa trục SO và mặt phẳng (SAB) bằng 30°. Tính diện tích xung quanh của hình nón đã cho.

Trả lời:

Cho hình nón đỉnh S có đáy là hình tròn tâm O. Một mặt phẳng đi qua đỉnh hình (ảnh 1)

ΔSAB có SA = SB đều là đường sinh nên ΔSAB ⊥ cân đỉnh S.

Gọi I là trung điểm của AB

⇒ SI ⊥ AB, $SI = \frac{{AB}}{2}$

Áp dụng hệ thức lượng vào ΔSIO vuông tại O:

cos $\widehat {ISO} = \frac{{SO}}{{SI}}$ ⇒ SI = $\frac{{SO}}{{\cos 30^\circ }}$

⇒ AB = $\frac{{2SO}}{{\cos 30^\circ }}$

S_SAB = $\frac{1}{2}.SI.AB = \frac{{S{O^2}}}{{{{\cos }^2}30^\circ }} = 4{a^2}$

⇒ SO = $a\sqrt 3$

⇒ AI = $\frac{{AB}}{2} = 2a$

IO = SO.tan30° = a

Áp dụng định lý Pytago vào tam giác OAI và SOA vuông ta có:

AO = $\sqrt {A{I^2} + I{O^2}} = a\sqrt 5$

AS = $\sqrt {S{O^2} + O{A^2}} = 2a\sqrt 2$

S_xq = π.OA.SA = π. $a\sqrt 5 .2a\sqrt 2 = 2\pi {a^2}\sqrt {10}$ .

Xem thêm bài tập Toán có lời giải hay khác:

Câu 1:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(–1; 2); B(3; 2); C(1; 5). Tính tọa độ trọng tâm của tam giác ABC?

Xem lời giải »

Câu 2:

Trong mặt phẳng Oxy cho các điểm A(–1; 2); B(5; 8) điểm M thuộc Ox sao cho tam giác MAB vuông tại A. Tính diện tích tam giác MAB?

Xem lời giải »

Câu 3:

Cho các số x, y, z dương thoả mãn x² + y² + z² = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M = $\frac{1}{{16{x^2}}} + \frac{1}{{4{y^2}}} + \frac{1}{{{z^2}}}$ .