Cho các số x, y, z dương thoả mãn x^2 + y2 + z^2 = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

Cho các số x, y, z dương thoả mãn x² + y² + z² = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M = $\frac{1}{{16{x^2}}} + \frac{1}{{4{y^2}}} + \frac{1}{{{z^2}}}$.

M = $\frac{1}{{16{x^2}}} + \frac{1}{{4{y^2}}} + \frac{1}{{{z^2}}} = \left( {\frac{1}{{16{x^2}}} + \frac{1}{{4{y^2}}} + \frac{1}{{{z^2}}}} \right)\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right)$(do x² + y² + z² = 1)

≥ ${\left( {\frac{1}{4} + \frac{1}{2} + 1} \right)^2} = \frac{{49}}{{16}}$ (bất đẳng thức Bunhia)

Dấu “=” khi $\left\{ \begin{array}{l}{x^2} = \frac{1}{7}\\{y^2} = \frac{2}{7}\\{z^2} = \frac{4}{7}\end{array} \right.$ ⇔ $\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{1}{{\sqrt 7 }}\\y = \sqrt {\frac{2}{7}} \\z = \frac{2}{{\sqrt 7 }}\end{array} \right.$

Vậy giá trị nhỏ nhất của M là $\frac{{49}}{{16}}$khi $x = \frac{1}{{\sqrt 7 }};y = \sqrt {\frac{2}{7}} ;z = \frac{2}{{\sqrt 7 }}$