Cho các số x, y, z dương thoả mãn x^2 + y2 + z^2 = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
Câu hỏi:
Cho các số x, y, z dương thoả mãn x2 + y2 + z2 = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M = \(\frac{1}{{16{x^2}}} + \frac{1}{{4{y^2}}} + \frac{1}{{{z^2}}}\).
Trả lời:
M = \(\frac{1}{{16{x^2}}} + \frac{1}{{4{y^2}}} + \frac{1}{{{z^2}}} = \left( {\frac{1}{{16{x^2}}} + \frac{1}{{4{y^2}}} + \frac{1}{{{z^2}}}} \right)\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right)\)(do x2 + y2 + z2 = 1)
≥ \({\left( {\frac{1}{4} + \frac{1}{2} + 1} \right)^2} = \frac{{49}}{{16}}\) (bất đẳng thức Bunhia)
Dấu “=” khi \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} = \frac{1}{7}\\{y^2} = \frac{2}{7}\\{z^2} = \frac{4}{7}\end{array} \right.\) ⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{1}{{\sqrt 7 }}\\y = \sqrt {\frac{2}{7}} \\z = \frac{2}{{\sqrt 7 }}\end{array} \right.\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của M là \(\frac{{49}}{{16}}\)khi \(x = \frac{1}{{\sqrt 7 }};y = \sqrt {\frac{2}{7}} ;z = \frac{2}{{\sqrt 7 }}\)
