Cho hình vuông ABCD, M là một điểm nằm giữa B và C. Kẻ AN vuông góc với AM

a) Vì ABCD là hình vuông nên AB = BC = CD = DA và $\widehat {ABC} = \widehat {BC{\rm{D}}} = \widehat {C{\rm{D}}A} = \widehat {DAB} = 90^\circ$

Ta có:

$\widehat {MAN} = \widehat {MA{\rm{D}}} + \widehat {DAN} = 90^\circ$

$\widehat {BA{\rm{D}}} = \widehat {MA{\rm{D}}} + \widehat {MAB} = 90^\circ$

Suy ra $\widehat {DAN} = \widehat {BAM}$

Xét tam giác ADN và tam giác ABM có

$\widehat {A{\rm{D}}N} = \widehat {ABM}\left( { = 90^\circ } \right)$

AD = AB (chứng minh trên)

$\widehat {DAN} = \widehat {BAM}$ (chứng minh trên)

Suy ra ∆ADN = ∆ABM (g.c.g)

Do đó AM = AN, DN = BM (các cặp cạnh tương ứng)

Suy ra tam giác AMN cân tại A

Khi đó tam giác AMN vuông cân tại A

Xét tam giác AMN cân tại A có AP là đường cao nên AP đồng thời là phân giác

Do đó $\widehat {NAP} = \widehat {MAP} = \frac{1}{2}\widehat {MAN} = \frac{1}{2}.90^\circ = 45^\circ$

Vì ABCD là hình vuông có CA là đường chéo nên $\widehat {AC{\rm{D}}} = \widehat {ACB} = \frac{{90^\circ }}{2} = 45^\circ$

Xét ∆ACN và ∆PAN có

$\widehat {NAP} = \widehat {NCA}\left( { = 45^\circ } \right)$

$\widehat {ANC}$ là góc chung

Suy ra (g.g)

Do đó $\frac{{AN}}{{PN}} = \frac{{CN}}{{AN}}$

Hay AN² = NC . NP

b) Xét tam giác APN và tam giác APM có

AP là cạnh chung

$\widehat {PAN} = \widehat {PAM}$ (chứng minh câu a)

AN = AM (chứng minh câu a)

Suy ra ∆APN = ∆APM (c.g.c)

Do đó PM = PN (hai cạnh tương ứng)

Chu vi tam giác MCP là:

CM + MP + CP = CM + PN + CP = CM + PB + DN + CP

= CM + PB + BM + CP = (CM + BM) + (PB + CP) = CD + CB = 2BC

Chu vi hình vuông ABCD là: 4BC

Vậy tỉ số chu vi tam giác CMP và chu vi hình vuông ABCD bằng $\frac{{2BC}}{{4BC}} = \frac{1}{2}$

c) Ta có: ${{\rm{S}}_{ANQ}} = \frac{1}{2}AN.AQ = \frac{1}{2}A{\rm{D}}.NQ$

Suy ra $\frac{1}{{A{\rm{D}}}} = \frac{{NQ}}{{AN.AQ}}$

Do đó $\frac{1}{{A{{\rm{D}}^2}}} = \frac{{N{Q^2}}}{{A{N^2}.A{Q^2}}}$

Vì tam giác ANQ vuông tại A nên AN² + AQ² = NQ²

Suy ra $\frac{1}{{A{{\rm{D}}^2}}} = \frac{{A{N^2} + A{Q^2}}}{{A{N^2}.A{Q^2}}} = \frac{1}{{A{N^2}}} + \frac{1}{{A{Q^2}}}$

Vì AD là cạnh hình vuông nên AD không đổi

Suy ra tổng $\frac{1}{{A{M^2}}} + \frac{1}{{A{Q^2}}}$ không đổi khi điểm M thay đổi trên cạnh BC

Vậy tổng $\frac{1}{{A{M^2}}} + \frac{1}{{A{Q^2}}}$ không đổi khi điểm M thay đổi trên cạnh BC.