Cho n là một số nguyên dương bất kỳ và Tn = 15 + 25 + 35 + ... + n5 , An = 1 + 2 + 3 + ... + n.
Câu hỏi:
Cho n là một số nguyên dương bất kỳ và Tn = 15 + 25 + 35 + ... + n5 , An = 1 + 2 + 3 + ... + n. Chứng minh: Tn chia hết An.
Trả lời:
Ta có tính chất an + bn ⋮ a+b
Và An = ⇒ 2An = n(n+1)
Nên ta có:
2Tn = 2 (15 + 25 + 35 + ... + n5)
= (15 + n5) + [25 + (n – 1)5] + … + [25 + (n – 2)5]+ …
Áp dụng tính chất ta có: 15 + n5 ⋮ (n+1)
[25 + (n−1)5] ⋮ (n+1)
[35 + (n−2)5] ⋮ (n+1)
...
Nên Tn = (15 + n5) + [25 + (n − 1)5] + [35 + (n−2)5] +... ⋮ (n + 1)
Hay 2Tn ⋮ (n+1)
[15+(n−1)5] ⋮ (1 + n – 1 = n)
(25+(n−2)5] ⋮ n
[3+(n−3)]5 ⋮ n
....
Nên 2Tn = [15 + (n−1)5] + (25 + (n−2)5] + [3 + (n−3)]5 + ... + n ⋮ n
Hay 2Tn ⋮ n
Ta có: 2Tn ⋮ n; Tn ⋮ n(n + 1)
Mà (n; n+1) = 1 nên 2Tn ⋮ n.(n+1)
Hay 2Tn ⋮ 2An
⇒ Tn chia hết An.
Xem thêm bài tập Toán có lời giải hay khác:
Câu 1:
Giải phương trình: (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 4) = 120.
Xem lời giải »
Câu 2:
Cho tam giác ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Chứng minh rằng: .
Xem lời giải »
Câu 3:
Cho ABC vuông tại A có AB < AC. Gọi D, E lần lượt là trung điểm của các cạnh BC và AC. Trên tia đối của tia DE lấy điểm F sao cho D là trung điểm của cạnh EF.
a) Chứng minh tứ giác BFCE là hình bình hành.
b) Chứng minh tứ giác BFEA là hình chữ nhật.
c) Gọi K là điểm đối xứng với F qua E. Chứng minh tứ giác AFCK là hình thoi.
d) Vẽ AH ⊥ BC tại H. Gọi M là trung điểm của HC. Chứng minh FM ⊥ AM.
Xem lời giải »
Câu 4:
Có 3 bì thư giống nhau lần lượt được đánh số thứ tự từ 1 đến 3 và 3 con tem giống nhau lần lượt đánh số thứ tự từ 1 đến 3. Dán 3 con tem đó vào 3 bì thư sao cho không có bì thư nào không có tem. Tính xác suất để lấy ra được 2 bì thư trong 3 bì thư trên sao cho mỗi bì thư đều có số thứ tự giống với số thứ tự con tem đã dán vào nó
Xem lời giải »
Câu 5:
Cho hình bình hành ABCD. Các đường phân giác của các góc lần lượt cắt nhau tại E, F, G, H. Chứng minh: EFGH là hình chữ nhật.
Xem lời giải »
Câu 8:
Có bao nhiêu cách xếp 3 quả bóng giống nhau vào 5 chỗ khác nhau (mỗi chỗ xếp không quá một quả bóng)?
Xem lời giải »
