Cho (O; R) dây MN vuông góc với OA tại trung điểm H của OA. Các tiếp tuyến với đường tròn (O) tại
Câu hỏi:
Cho (O; R) dây MN vuông góc với OA tại trung điểm H của OA. Các tiếp tuyến với đường tròn (O) tại M và N cắt nhau ở B.
a) Chứng minh rằng 3 điểm O, A, B thẳng hàng.
b) Tam giác BMN là tam giác gì? Vì sao?
c) Tính BM theo R.
Trả lời:
a) ΔOMA có MH⊥OA (MH là đường cao)
H là trung điểm của OA ⇒ MH là đường trung tuyến
⇒ ΔOMA cân đỉnh M.
⇒ MO = MA mà OM = OA ⇒ OM = OA = AM
⇒ ΔOMA đều
Ta có: OM = ON = R
⇒ ΔAMN cân đỉnh O có MN⊥OA = H
⇒ OH ⊥ MN
⇒ OH là đường cao
⇒ OH cũng là phân giác của (1)
Xét ΔΔ vuông MOB và ΔΔ vuông NOB ta có:
OB chung
OM = ON = R
⇒ ΔMOB = ΔNOB (cạnh huyền – cạnh góc vuông)
⇒
⇒ OB là phân giác (2)
Từ (1) và (2) ⇒ OA, OB cùng là phân giác
⇒ O, A, B thẳng hàng.
b) OA ⊥ MN và OH ∩ MN = H là trung điểm MN
⇒ ΔBMN có BH ⊥ MN; BH là đường cao và BH là đường trung tuyến
⇒ ΔBMN cân đỉnh B.
⇒
Suy ra:
⇒ΔMBN là tam giác đều.
c) MB = MN = 2MH
Áp dụng định lý Pitago vào Δ vuông MOH ta có:
MH2 = AM2 – OH2 = R2 −
⇒ MH =
⇒ MB = MN = 2MH =
