Cho phương trình (2log 2 3 x = log 3 x - 1) căn bậc hai (5^x - m) = 0 (m là tham số thực)

Cho phương trình \(\left( {2\log _3^2x - {{\log }_3}x - 1} \right)\sqrt {{5^x} - m} = 0\) (m là tham số thực). Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để phương trình đã cho có đúng hai nghiệm phân biệt?

ĐK: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 0}\\{{5^x} - m \ge 0}\end{array}} \right.\) ⇔ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 0}\\{x \ge {{\log }_5}m}\end{array}} \right.\) (*)

Do m nguyên dương nên m ≥ 1 ⇒ log₅m ≥ 0.

Ta có: \(\left( {2\log _3^2x - {{\log }_3}x - 1} \right)\sqrt {{5^x} - m} = 0\)

⇔ \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\log }_3}x = 1}\\{{{\log }_3}x = - \frac{1}{2}}\\{{5^x} = m}\end{array}} \right.\) ⇔ \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3}\\{x = \frac{1}{{\sqrt 3 }}}\\{x = {{\log }_5}m}\end{array}} \right.\)

TH1: m = 1 thì (*) là \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 0}\\{x \ge 0}\end{array}} \right.\) ⇔ x > 0.

Mà m = 1 ⇒ x = log₅m = 0 (KTM) nên phương trình đã cho chỉ có hai nghiệm x₁ = 3 và \({x_2} = \frac{1}{{\sqrt 3 }}.\)

TH2: m > 1 thì (*) là \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 0}\\{x \ge {{\log }_5}m}\end{array}} \right.\) ⇔ x ≥ log₅m.

Do đó phương trình đã cho chắc chắn có nghiệm x₁ = log₅m.

Do đó để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì nó chỉ có thể nhận thêm một trong hai nghiệm x = 3 hoặc \(x = \frac{1}{{\sqrt 3 }}.\)

+) Nếu \(\frac{1}{{\sqrt 3 }} > {\log _5}m\) ⇒ 3 > log₅m nên cả hai nghiệm 3 và \(\frac{1}{{\sqrt 3 }}\) đều thỏa mãn ĐK nên phương trình đã cho có 3 nghiệm (loại).

+) Nếu \(\frac{1}{{\sqrt 3 }} = {\log _5}m\) ⇔ \(m = {5^{\frac{1}{{\sqrt 3 }}}} \notin \mathbb{Z}\) nên không xét trường hợp này.

+) Nếu \(\frac{1}{{\sqrt 3 }} < {\log _5}m\) ⇔ \(m > {5^{\frac{1}{{\sqrt 3 }}}}\) thì để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt thì nghiệm x = 3 phải thỏa mãn 3 > log₅m ⇔ m < 5³ = 125.

Kết hợp \(m > {5^{\frac{1}{{\sqrt 3 }}}}\) ta được \({5^{\frac{1}{{\sqrt 3 }}}} < m < 125.\)

Mà m ∈ ℤ nên m ∈ {3; 4;...; 124}.

Vậy m ∈ {1; 3; 4;...; 124} nên có 123 giá trị m thỏa mãn.