Cho phương trình (2log 2 3 x = log 3 x - 1) căn bậc hai (5^x - m) = 0 (m là tham số thực)

Cho phương trình $\left( {2\log _3^2x - {{\log }_3}x - 1} \right)\sqrt {{5^x} - m} = 0$ (m là tham số thực). Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để phương trình đã cho có đúng hai nghiệm phân biệt?

ĐK: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 0}\\{{5^x} - m \ge 0}\end{array}} \right.$ ⇔ $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 0}\\{x \ge {{\log }_5}m}\end{array}} \right.$ (*)

Do m nguyên dương nên m ≥ 1 ⇒ log₅m ≥ 0.

Ta có: $\left( {2\log _3^2x - {{\log }_3}x - 1} \right)\sqrt {{5^x} - m} = 0$

⇔ $\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\log }_3}x = 1}\\{{{\log }_3}x = - \frac{1}{2}}\\{{5^x} = m}\end{array}} \right.$ ⇔ $\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3}\\{x = \frac{1}{{\sqrt 3 }}}\\{x = {{\log }_5}m}\end{array}} \right.$

TH1: m = 1 thì (*) là $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 0}\\{x \ge 0}\end{array}} \right.$ ⇔ x > 0.

Mà m = 1 ⇒ x = log₅m = 0 (KTM) nên phương trình đã cho chỉ có hai nghiệm x₁ = 3 và ${x_2} = \frac{1}{{\sqrt 3 }}.$

TH2: m > 1 thì (*) là $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 0}\\{x \ge {{\log }_5}m}\end{array}} \right.$ ⇔ x ≥ log₅m.

Do đó phương trình đã cho chắc chắn có nghiệm x₁ = log₅m.

Do đó để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì nó chỉ có thể nhận thêm một trong hai nghiệm x = 3 hoặc $x = \frac{1}{{\sqrt 3 }}.$

+) Nếu $\frac{1}{{\sqrt 3 }} > {\log _5}m$ ⇒ 3 > log₅m nên cả hai nghiệm 3 và $\frac{1}{{\sqrt 3 }}$ đều thỏa mãn ĐK nên phương trình đã cho có 3 nghiệm (loại).

+) Nếu $\frac{1}{{\sqrt 3 }} = {\log _5}m$ ⇔ $m = {5^{\frac{1}{{\sqrt 3 }}}} \notin \mathbb{Z}$ nên không xét trường hợp này.

+) Nếu $\frac{1}{{\sqrt 3 }} < {\log _5}m$ ⇔ $m > {5^{\frac{1}{{\sqrt 3 }}}}$ thì để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt thì nghiệm x = 3 phải thỏa mãn 3 > log₅m ⇔ m < 5³ = 125.

Kết hợp $m > {5^{\frac{1}{{\sqrt 3 }}}}$ ta được ${5^{\frac{1}{{\sqrt 3 }}}} < m < 125.$

Mà m ∈ ℤ nên m ∈ {3; 4;...; 124}.

Vậy m ∈ {1; 3; 4;...; 124} nên có 123 giá trị m thỏa mãn.