Số nghiệm của phương trình ${\log _3}x = {\log _2}\left( {1 + \sqrt x } \right)$ là

Số nghiệm của phương trình ${\log _3}x = {\log _2}\left( {1 + \sqrt x } \right)$ là

A. 0.

B. 3.

C. 1.

D. 2.

Đáp án đúng là: C

ĐK: x > 0.

Đặt $t = {\log _3}x = {\log _2}\left( {1 + \sqrt x } \right)$ (vì $1 + \sqrt x > 1$ ⇒ $t = {\log _2}\left( {1 + \sqrt x } \right) > 0$)

⇔ $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = {3^t}}\\{1 + \sqrt x = {2^t}}\end{array}} \right.$ ⇔ $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = {3^t}}\\{x = {{\left( {{2^t} - 1} \right)}^2}}\end{array}} \right.$

⇒ ${3^t} = {\left( {{2^t} - 1} \right)^2}$ ⇔ ${3^t} = {4^t} - {2.2^t} + 1$ ⇔ ${\left( {\frac{3}{4}} \right)^t} = 1 - 2.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^t} + {\left( {\frac{1}{4}} \right)^t}$

⇔ ${\left( {\frac{3}{4}} \right)^t} + 2.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^t} - {\left( {\frac{1}{4}} \right)^t} = 1$

Xét hàm số $f\left( t \right) = {\left( {\frac{3}{4}} \right)^t} + 2.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^t} - {\left( {\frac{1}{4}} \right)^t}$ trên (0; +∞) có:

$f'\left( t \right) = {\left( {\frac{3}{4}} \right)^t}\ln \frac{3}{4} + 2{\left( {\frac{1}{2}} \right)^t}\ln \frac{1}{2} - {\left( {\frac{1}{4}} \right)^t}\ln \frac{1}{4}$

$= {\left( {\frac{3}{4}} \right)^t}\ln \frac{3}{4} + 2{\left( {\frac{1}{2}} \right)^t}\ln \frac{1}{2} + 2.{\left( {\frac{1}{4}} \right)^t}\ln \frac{1}{2}$

Mà $\ln \frac{3}{4} < 0,\,\,\ln \frac{1}{2} < 0$ nên $f'\left( t \right) < 0,$ ∀t > 0.

Do đó hàm số f(t) nghịch biến trên (0; +∞).

Dễ thấy f(2) = 1 nên phương trình f(t) = 1 có nghiệm duy nhất t = 2.

Suy ra ${\log _3}x = 2$ ⇔ x = 9.

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 9.