Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): x - 2y + 2z + 6 = 0 và các điểm A(-1; 2; 3)

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): x – 2y + 2z + 6 = 0 và các điểm A(-1; 2; 3), B(3; 0; -1), C(1; 4; 7). Tìm điều kiện của điểm M thuộc (P) sao cho MA² + MB² + MC² nhỏ nhất.

Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC với tọa độ là G(1; 2; 3).

Ta có MA² + MB² + MC² = \({\overrightarrow {MA} ^2} + {\overrightarrow {MB} ^2} + {\overrightarrow {MC} ^2}\)

\( = {\left( {\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GA} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GB} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GC} } \right)^2}\)

\( = 3M{G^2} + \left( {G{A^2} + G{B^2} + G{C^2}} \right) + 2\overrightarrow {MG} \left( {\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} } \right)\)

\( = 3M{G^2} + \left( {G{A^2} + G{B^2} + G{C^2}} \right)\)

Suy ra MA² + MB² + MC² nhỏ nhất ⇔ MG nhỏ nhất, do GA² + GB² + GC² không đổi

⇔ M là hình chiếu của G trên (P).

Vậy MA² + MB² + MC² nhỏ nhất ⇔ M là hình chiếu của G trên (P).