Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) có D và E lần lượt là trung điểm của các
Câu hỏi:
Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) có D và E lần lượt là trung điểm của các cạnh AC và BC. Vẽ EF vuông góc với AB tại F.
a) Chứng minh rằng DE //AB và tứ giác ADEF là hình chữ nhật.
b) Trên tia đối của tia DE lấy điểm G sao cho DG = DE. Chứng minh tứ giác AECG là hình thoi.
c) Gọi O là giao điểm của AE và DF. Chứng minh rằng ba điểm B, O, G thẳng hàng.
d) Vẽ EH vuông góc với AG tại H. Chứng minh rằng tam giác DHF vuông.
Trả lời:
a) Xét DABC có D, E lần lượt là trung điểm của AC và BC nên DE là đường trung bình của tam giác
Do đó DE // AB hay DE // AF.
Ta có AB ⊥ AC và DE // AB nên DE ⊥ AC hay \(\widehat {ADE} = 90^\circ \)
Xét tứ giác ADEF có: \(\widehat {FAD} = \widehat {ADE} = \widehat {AFE} = 90^\circ \)
Do đó ADEF là hình chữ nhật (dấu hiệu nhận biết).
b) Tứ giác AECG có hai đường chéo AC và GE cắt nhau tại trung điểm D của mỗi đường nên là hình bình hành.
Lại có hai đường chéo EG ⊥ AC (do DE ⊥ AC)
Do đó AECG là hình thoi.
c) Do ADEF là hình chữ nhật nên hai đường chéo AE và DF cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường, hay O là trung điểm của AE.
Do AECG là hình thoi nên EC // AG và EC = AG
Lại có BE = EC (do E là trung điểm của BC) nên BE = AG.
Xét tứ giác ABEG có BE // AG (do EC // AG) và BE = AG
Do đó ABEG là hình bình hành
Suy ra hai đường chéo AE và BG cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường
Mà O là trung điểm của AE nên O là trung điểm của BG
Do đó ba điểm B, O, G thẳng hàng.
d) Do ADEF là hình chữ nhật nên AF = DE.
Mà DE = DG nên DG = AF.
Xét tứ giác AFDG có: DG = AF và DG // AF (do DE // AB)
Do đó AFDG là hình bình hành.
Suy ra AG // DF
Lại có EH ⊥ AG nên EH ⊥ DF
Xét DEHG vuông tại H có HD là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền
Nên HD = ED = \(\frac{{}}{{}}\)\(\frac{1}{2}EG\)
Khi đó ∆EDH là tam giác cân tại D
Suy ra đường cao DF của tam giác đồng thời là đường phân giác.
Hay \(\widehat {EDF} = \widehat {HDF}\)
Xét ∆EDF và ∆HDF có:
DF là cạnh chung;
\(\widehat {EDF} = \widehat {HDF}\)(chứng minh trên);
ED = HD (chứng minh trên)
Do đó ∆EDF = ∆HDF (c.g.c)
Suy ra (hai góc tương ứng)
Mà \(\widehat {FED} = 90^\circ \)(do ADEF là hình chữ nhật)
Do đó \(\widehat {FHD} = 90^\circ \)nên tam giác DHF vuông tại H.
