Cho tam giác ABC vuông tại A. Điểm D thuộc cạnh BC. Gọi M, N theo thứ tự là hình chiếu của D tại AB, AC.

Cho tam giác ABC vuông tại A. Điểm D thuộc cạnh BC. Gọi M, N theo thứ tự là hình chiếu của D tại AB, AC.

a) Chứng minh rằng: AD = MN; $\widehat{MDN}$ = 90°.

b) Gọi AH vuông góc BC tại H. Chứng minh rằng: $\widehat{MHN}$  = 90°.

c) Khi D chuyển động trên BC thì trung điểm I của MN chuyển động trên đường nào?

a) Ta có: $\widehat{DMA}=\widehat{MAN}=\widehat{AND}$ = 90°

Nên AMDN là hình chữ nhật

Suy ra: AD = MN; $\widehat{MDN}$ = 90°

b) Gọi I là trung điểm của MN và AD

HI là đường trung tuyến của ∆HAD vuông tại H suy ra: HI = $\frac{1}{2}AD$

Mà AD = MN nên HI = $\frac{1}{2}MN$

Mà HI là đường trung tuyến của ∆HMN (I là trung điểm MN)

Nên ∆HMN vuông tại H

Suy ra: $\widehat{MHN}$ = 90°

c) Kẻ IK vuông góc HD

Ta có: AH ⊥ HD nên IK // AH

Mà I là trung điểm AD nên IK là đường trung bình của tam giác DAH

Suy ra: IK = $\frac{1}{2}AH$

Điểm I cách đoạn thẳng BC 1 khoảng cố định bằng một nửa AH không đổi.

Vậy I di chuyển trên đường thẳng song song với BC và cách BC 1 khoảng bằng nửa AH.