Cho tổng An = 1 + 4 + 7 + (3n – 2). a, Tính A1, A2, A3. b, Dự đoán công thức An và chứng minh bằng quy nạp.
Câu hỏi:
Cho tổng An = 1 + 4 + 7+ .... + (3n – 2).
a, Tính A1, A2, A3.
b, Dự đoán công thức An và chứng minh bằng quy nạp.
Trả lời:
a) A1 = 1
A2 = 1 + 4 = 5
A3 = 1 + 4 + 7 = 12
b) Dự đoán công thức An = n(3n−1)2 (1)
Chứng minh bằng phương pháp quy nạp
Với n = 1 ta có: A1 = 1.22=1 (đúng)
Giả sử (1) đúng với n = k ≥ 1 tức là
1 + 4 + 7 + … + (3k – 2) = k(3k−1)2
Ta cần chứng minh (1) đúng với n = k, tức là cần chứng minh
1 + 4 + 7 + … + (3k – 2) + (3k + 1) = (k+1)(3k+2)2(2)
Theo giả thiết quy nạp ta có:
Ak+1 = Ak + (3k + 1) = k(3k−1)2+ (3k + 1)
= 3k2−k+6k+22=3k2+5k+22=(k+1)(3k+2)2 .
Vậy (1) đúng với mọi n ∈ ℕ*.
