Cho x > 0. Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = 9x^2 - 5x + 1/9x + 10
Câu hỏi:
Cho x > 0. Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = 9x2 – 5x + \(\frac{1}{{9x}}\) + 10.
Trả lời:
S = 9x2 – 5x + \(\frac{1}{{9x}}\) + 10
⇔ S = (3x – 1)2 + x + \(\frac{1}{{9x}}\) + 9
Vì (3x – 1)2 ≥ 0 với mọi x, dấu “=” xảy ra khi x = \(\frac{1}{3}\)
Mà x > 0 nên áp dụng bất đẳng thức Cô–si cho 2 số không âm x; \(\frac{1}{{9x}}\) ta được:
x + \(\frac{1}{{9x}} \ge 2\sqrt {x.\frac{1}{{9x}}} = 2.\frac{1}{3} = \frac{2}{3}\)
Dấu “=” xảy ra khi x = \( = \frac{1}{{9x}}\,hay\,x = \frac{1}{3}\)
Khi đó: S = (3x – 1)2 + x + \(\frac{1}{{9x}}\) + 9 ≥ 0 + \(\frac{2}{3} + 9 = \frac{{29}}{3}\)
Vậy min S = \(\frac{{29}}{3}\) khi x = \(\frac{1}{3}\).
