Cho xy + yz + zx = 0 và xyz ≠ 0. Tính giá trị biểu thức: .

Cho xy + yz + zx = 0 và xyz ≠ 0. Tính giá trị biểu thức:

$M=\frac{yz}{x^2}+\frac{xz}{y^2}+\frac{xy}{z^2}$.

Ta có: xy + yz + xz = 0

Chia cả 2 vế của đẳng thức trên cho xyz ≠ 0, ta được:

$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0$

Nhận xét: Chú ý rằng nếu x + y + z = 0 (1) thì x³ + y³ + z³ = 3xyz (*)

Thật vậy, từ (1) Þ z = -(x + y)

Do đó, x³ + y³ + z³ = x³ + y³ - (x + y)³ = -3x²y - 3xy² = -3xy(x + y) = 3xyz

Vậy, đẳng thức (*) được chứng minh

Áp dụng nhận xét trên, ta có:

Nếu $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0$ thì $\frac{1}{x^3}+\frac{1}{y^3}+\frac{1}{z^3}=3.\frac{1}{x}.\frac{1}{y}.\frac{1}{z}=\frac{3}{xyz}$

Do đó M = $\frac{yz}{x^2}+\frac{xz}{y^2}+\frac{xy}{z^2}=\frac{xyz}{x^3}+\frac{xyz}{y^3}+\frac{xyz}{z^3}=xyz\left(\frac{1}{x^3}+\frac{1}{y^3}+\frac{1}{z^3}\right)$

$=xyz.\frac{3}{xyz}=3$ (x, y, z ≠ 0)

Vậy $M=\frac{yz}{x^2}+\frac{xz}{y^2}+\frac{xy}{z^2}=3$.