Chứng minh rằng: Nếu P là số nguyên tố lớn hơn 3 thì (P -1)(P + 1) chia hết cho 24
Câu hỏi:
Chứng minh rằng: Nếu P là số nguyên tố lớn hơn 3 thì (P – 1)(P + 1) chia hết cho 24.
Trả lời:
Vì P là số nguyên tố lớn hơn 3
Nên P không chia hết cho 2 và 3
Ta có: P không chia hết cho 2
Suy ra P – 1 và P + 1 là 2 số chẵn liên tiếp
Do đó (P – 1)(P + 1) chia hết cho 8 (1)
Mặt khác: P không chia hết cho 3
+) Nếu P = 3k +1 thì P – 1 = 3k ⋮ 3
Suy ra (P – 1)(P + 1) chia hết cho 3
+) Nếu P = 3k + 2 thì P + 1 = 3k + 3 ⋮ 3
Suy ra (P – 1)(P + 1) chia hết cho 3
Do đó P không chia hết cho 3 thì (P – 1)(P + 1) chia hết cho 3 (2)
Từ (1) và (2) suy ra (P – 1)(P + 1) chia hết cho 8 và 3
Mà (8; 3) = 1
Suy ra (P – 1)(P + 1) chia hết cho 24
Vậy nếu P là số nguyên tố lớn hơn 3 thì (P – 1)(P + 1) chia hết cho 24.
