Chứng minh rằng tan^2x + cot^2x = 6+2cos4x/1-cos4x

Câu hỏi:

Chứng minh rằng tan²x + cot²x = $\frac{6 + 2 \cos 4 x}{1 - \cos 4 x}$ .

Trả lời:

tan²x + cot²x = $\frac{\sin^{2} x}{\cos^{2} x} + \frac{\cos^{2} x}{\sin^{2} x} = \frac{\sin^{4} x + \cos^{4} x}{\sin^{2} x . \cos^{2} x}$

= $\frac{(\sin^{2} x + \cos^{2} x) - 2 \sin^{2} x . \cos^{2} x}{\sin^{2} x . \cos^{2} x}$

= $\frac{1 - 2 \sin^{2} x . \cos^{2} x}{\sin^{2} x . \cos^{2} x}$

= $\frac{1 - \frac{1}{2} \sin^{2} 2 x}{\frac{1}{4} \sin^{2} 2 x}$

= $\frac{1 - \frac{1}{2} . \frac{1 - \cos 4 x}{2}}{\frac{1}{4} . \frac{1 - \cos 4 x}{2}}$

= $\frac{1 - \frac{1}{4} . (1 - \cos 4 x)}{\frac{1}{8} . (1 - \cos 4 x)}$

= $\frac{8 - 2 + 2 \cos 4 x}{1 - \cos 4 x}$

= $\frac{6 + 2 \cos 4 x}{1 - \cos 4 x}$

Vậy tan²x + cot²x = $\frac{6 + 2 \cos 4 x}{1 - \cos 4 x}$

Xem thêm bài tập Toán có lời giải hay khác:

Câu 1:

Giải phương trình: (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 4) = 120.

Xem lời giải »

Câu 2:

Cho tam giác ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Chứng minh rằng: $\vec{B M} + \vec{C N} + \vec{A P} = 0$ .

Xem lời giải »

Câu 3:

Cho ABC vuông tại A có AB < AC. Gọi D, E lần lượt là trung điểm của các cạnh BC và AC. Trên tia đối của tia DE lấy điểm F sao cho D là trung điểm của cạnh EF.

a) Chứng minh tứ giác BFCE là hình bình hành.

b) Chứng minh tứ giác BFEA là hình chữ nhật.

c) Gọi K là điểm đối xứng với F qua E. Chứng minh tứ giác AFCK là hình thoi.

d) Vẽ AH ⊥ BC tại H. Gọi M là trung điểm của HC. Chứng minh FM ⊥ AM.

Xem lời giải »

Câu 4:

Có 3 bì thư giống nhau lần lượt được đánh số thứ tự từ 1 đến 3 và 3 con tem giống nhau lần lượt đánh số thứ tự từ 1 đến 3. Dán 3 con tem đó vào 3 bì thư sao cho không có bì thư nào không có tem. Tính xác suất để lấy ra được 2 bì thư trong 3 bì thư trên sao cho mỗi bì thư đều có số thứ tự giống với số thứ tự con tem đã dán vào nó

Xem lời giải »

Câu 5:

Tính giá trị biểu thức: $(8 - \frac{9}{4} + \frac{2}{7}) - (- 6 - \frac{3}{7} + \frac{5}{4}) - (3 + \frac{2}{4} - \frac{9}{7})$ .