Có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số mà tổng tất cả các chữ số đó bằng 7?

Có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số mà tổng tất cả các chữ số đó bằng 7?

Gọi số cần tì có dạng $\overline{abcd}\left(a,b,c,d\in \mathbb{N},0\le a,b,c,d\le \mathrm{9,}a\ne 0\right)$

• Trường hợp 1: Trong 4 chữ số a, b, c, d có 3 chữ số bằng 0

Þ b = c = d = 0, a = 7

Do đó có 1 số thỏa mãn.

• Trường hợp 2: Trong 4 chữ số a, b, c, d có 2 chữ số bằng 0.

Chọn vị trí cho 2 chữ số 0 có $C_3^1=3$ (cách).

Tổng hai chữ số còn lại là 7, ta có:

7 = 6 + 1 = 5 + 2 = 4 + 3 = 3 + 4 = 2 + 5 = 1 + 6

Nên có 6 cách chọn 2 chữ số còn lại.

Do đó trường hợp này có 18 số.

• Trường hợp 3: Trong 4 chữ số a, b, c, d có 1 chữ số bằng 0.

Chọn vị trí cho 1 chữ số 0 có $C_3^1=3$ (cách).

Tổng ba chữ số còn lại là 7, ta có

7 = 1 + 1 + 5 = 1 + 2 + 4 = 1 + 3 + 3 = 2 + 2 + 3

Với bộ số (1; 2; 4) có 3! = 6 cách chon 3 chữ số còn lại.

Với 3 bộ số còn lại có $\frac{3!}{2!}=3$ cách chọn 3 chữ số còn lại.

Do đó trường hợp này có 3 . (6 + 3 . 3) = 45 (số).

• Trường hợp 4: Trong 4 chữ số a, b, c, d không có chữ số bằng 0

Ta có: $\left\{\begin{array}{l}7=1+1+1+4\\ 7=1+1+2+3\\ 7=1+2+2+2\end{array}\right.$

+) Với bộ số(1; 1; 1; 4) có $\frac{4!}{3!}=4$cách chọn 4 chữ số a, b, c, d.

+) Với bộ số(1; 1; 2; 3) có $\frac{4!}{2!}=12$cách chọn 4 chữ số a, b, c, d.

Với bộ số(1; 2; 2; 2) có $\frac{4!}{3!}=4$cách chọn 4 chữ số a, b, c, d.

Do đó trường hợp này có 4 + 12 + 4 = 20 số thỏa mãn.

Vậy có tất cả: 1 + 18 + 45 + 20 = 84 số.