Giải phương trình 3sin3x + căn bậc hai 3 cos 9x = 1 + 4 sin^3 3x

Giải phương trình $3\sin 3x + \sqrt 3 \cos 9x = 1 + 4{\sin ^3}3x$.

$3\sin 3x + \sqrt 3 \cos 9x = 1 + 4{\sin ^3}3x$

$\Leftrightarrow \left( {3\sin 3x - 4{{\sin }^3}3x} \right) + \sqrt 3 \cos 9x = 1$

$\Leftrightarrow \sin 9x + \sqrt 3 \cos 9x = 1$

$\Leftrightarrow \frac{1}{2}\sin 9x + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\cos 9x = \frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow \sin 9x\,.\,\cos \frac{\pi }{3} + \cos 9x\,.\,\sin \frac{\pi }{3} = \frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow \sin \left( {9x + \frac{\pi }{3}} \right) = \sin \frac{\pi }{6}$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}9x + \frac{\pi }{3} = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\9x + \frac{\pi }{3} = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \frac{\pi }{{54}} + \frac{{k2\pi }}{9}\\x = \frac{\pi }{{18}} + \frac{{k2\pi }}{9}\end{array} \right.\;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

Vậy phương trình trên có hai họ nghiệm là $S = \left\{ { - \frac{\pi }{{54}} + \frac{{k2\pi }}{9};\;\frac{\pi }{{18}} + \frac{{k2\pi }}{9},\;k \in \mathbb{Z}} \right\}$.