Tam giác đều cạnh a nội tiếp trong đường tròn bán kính R. Khi đó bán kính R

Câu hỏi:

Tam giác đều cạnh a nội tiếp trong đường tròn bán kính R. Khi đó bán kính R bằng bao nhiêu?

Trả lời:

Xét tam giác ABC đều cạnh a và gọi M là trung điểm của BC.

Ta có: AM ⏊ BC.

Suy ra diện tích tam giác ABC là:

${S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AM\,.\,BC = \frac{1}{2}\sqrt {A{B^2} - B{M^2}} \,.\,BC = \frac{1}{2}\sqrt {{a^2} - {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}} \,.\,a = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}$ .

Mà ta có ${S_{\Delta ABC}} = \frac{{AB\,.\,BC\,.\,CA}}{{4R}}$ .

Vậy bán kính cần tìm là: $R = \frac{{AB\,.\,BC\,.\,CA}}{{4{S_{\Delta ABC}}}} = \frac{{a\,.\,a\,.\,a}}{{4\,.\,\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}$ .

Xem thêm bài tập Toán có lời giải hay khác:

Câu 1:

Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn abc = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P = \frac{1}{{a + 2b + 3}} + \frac{1}{{b + 2c + 3}} + \frac{1}{{c + 2a + 3}}$ .

Xem lời giải »

Câu 2:

Cho các số thực dương thỏa mãn a + b + c = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: $P = \frac{a}{{\sqrt {a + bc} }} + \frac{b}{{\sqrt {b + ca} }} + \frac{c}{{\sqrt {c + ab} }}$ .