Giải phương trình: ( căn bậc hai (1 - sin 2x) + căn bậc hai (1 + sin 2x)) / sinx = 4cosx

Giải phương trình: \(\frac{{\sqrt {1 - \sin 2{\rm{x}}} + \sqrt {1 + \sin 2{\rm{x}}} }}{{{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}}} = 4c{\rm{osx}}\).

Điều kiện: sinx ≠ 0

Ta có: \(\frac{{\sqrt {1 - \sin 2{\rm{x}}} + \sqrt {1 + \sin 2{\rm{x}}} }}{{{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}}} = 4c{\rm{osx}}\)

\( \Rightarrow \sqrt {1 - \sin 2{\rm{x}}} + \sqrt {1 + \sin 2{\rm{x}}} = 4c{\rm{osxsinx}}\)

\[ \Rightarrow {\left( {\sqrt {1 - \sin 2{\rm{x}}} + \sqrt {1 + \sin 2{\rm{x}}} } \right)^2} = {\left( {2.2c{\rm{osxsinx}}} \right)^2}\] với sinxcosx > 0

\[ \Leftrightarrow 1 - \sin 2{\rm{x}} + 1 + \sin 2{\rm{x + 2}}\sqrt {\left( {1 - \sin 2{\rm{x}}} \right)\left( {1 + \sin 2{\rm{x}}} \right)} = {\left( {2{\rm{sin2x}}} \right)^2}\] với sin2x > 0

\[ \Leftrightarrow 2{\rm{ + 2}}\sqrt {1 - {{\sin }^2}2x} = 4{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}{\rm{2x}}\] với sin2x > 0

\[ \Leftrightarrow 1{\rm{ + }}\sqrt {{{\cos }^2}2x} = 2{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}{\rm{2x}}\] với sin2x > 0

⇔ 1 + |cos2x| = 2 – cos²2x, với sin2x > 0

⇔ 2|cos2x|² + |cos2x| – 1 = 0, với sin2x > 0

Đặt |cos2x| = t (t ≥ 0), ta có phương trình:

2t² + t – 1 = 0 ⇔ (2t – 1)(t + 1) = 0\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \frac{1}{2}\,\,\left( {tm} \right)\\t = - 1\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\)

Suy ra \(\left| {cos2{\rm{x}}} \right| = \frac{1}{2}\) nên \(co{s^2}2{\rm{x}} = \frac{1}{4} \Rightarrow {\sin ^2}2x = \frac{3}{4}\)

Mà sin2x > 0 nên \(\sin 2x = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)

Suy ra \(\left[ \begin{array}{l}2{\rm{x}} = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\2{\rm{x}} = \pi - \frac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\rm{x}} = \frac{\pi }{6} + k\pi \\{\rm{x}} = \frac{\pi }{3} + k\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Vậy \({\rm{x}} = \frac{\pi }{6} + k\pi ;{\rm{x}} = \frac{\pi }{3} + k\pi \).