Hai điểm M, N lần lượt thuộc hai nhánh của đồ thị hàm số y = (3x - 1)/(x - 3

Câu hỏi:

Hai điểm M, N lần lượt thuộc hai nhánh của đồ thị hàm số $y = \frac{3 x - 1}{x - 3}$ . Khi đó độ dài đoạn thẳng MN ngắn nhất bằng:

A. $8 \sqrt{2}$

B. 2017

C. 8

D. 4

Trả lời:

Đáp án C

Ta có: $y = \frac{3 x - 1}{x - 3} \Rightarrow y = 3 + \frac{8}{x - 3} \Rightarrow y - 3 = \frac{8}{x - 3}$

Đặt $\{\begin{matrix} X = x - 3 \\ Y = y - 3 \end{matrix}$ . Ta có: $Y = \frac{8}{X}$

Gọi $M (X_{1}; \frac{8}{X_{1}})$ thuộc nhánh trái, $N (X_{2}; \frac{8}{X_{2}})$ thuộc nhánh phải của đồ thị hàm số,

Với $X_{1} < 0 < X_{2}$ . Ta có: $M N^{2} = {(X_{2} - X_{1})}^{2} + 64 {(\frac{1}{X_{2}} - \frac{1}{X_{1}})}^{2}$

$\Rightarrow M N^{2} = 2 \sqrt{{(X_{2} - X_{1})}^{2} .64 {(\frac{1}{X_{2}} - \frac{1}{X_{1}})}^{2}} \Rightarrow M N^{2} \geq 16 |(X_{2} - X_{1}) (\frac{1}{X_{2}} - \frac{1}{X_{1}})| \Rightarrow M N^{2} \geq 16 \frac{(X_{2} - X_{1})}{|X_{1} X_{2}|} \Rightarrow M N^{2} \geq 16 \frac{- 4 X_{1} X_{2}}{- X_{1} X_{2}} = 64$

Do vậy $M N \geq 8$

Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow \{\begin{matrix} X_{2} = - X_{1} \\ {(X_{2} - X_{1})}^{2} = 64 {(\frac{1}{X_{2}} - \frac{1}{X_{1}})}^{2} \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} X_{1} = - 2 \sqrt{2} \\ X_{2} = 2 \sqrt{2} \end{matrix}$

Vậy với $M (- 2 \sqrt{2}; - 2 \sqrt{2}); N (2 \sqrt{2}; 2 \sqrt{2})$ thì MN có độ dài ngắn nhất bằng 8

Xem thêm bài tập Toán có lời giải hay khác:

Câu 1:

Với mỗi số thực x, gọi f(x) là giá trị nhỏ nhất trong các số $g_{1} (x) = 4 x + 1, g_{2} (x) = x + 2, g_{3} (x) = - 2 x + 4$ . Giá trị lớn nhất của f(x) trên R là:

Xem lời giải »

Câu 2:

Biết rằng đồ thị của hàm số $y = P (x) = x^{3} - 2 x^{2} - 5 x + 2$ cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt lần lượt có hoành độ là $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ . Khi đó giá trị của biểu thức $T = \frac{1}{x_{1}^{2} - 4 x_{1} + 3} + \frac{1}{x_{2}^{2} - 4 x_{2} + 3} + \frac{1}{x_{3}^{2} - 4 x_{3} + 3}$ bằng:

Xem lời giải »

Câu 3:

Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:

Đồ thị hàm số $y = |f (x - 2017) + 2018|$ có bao nhiêu điểm cực trị?

Xem lời giải »

Câu 4:

Cô An đang ở khách sạn A bên bờ biển, cô cần đi du lịch đến hòn đảo C. Biết rằng khoảng cách từ đảo C đến bờ biển là 10km, khoảng cách từ khách sạn A đến điểm B trên bờ gần đảo C nhất là 50km. Từ khách sạn A, cô An có thể đi đường thủy hoặc đi đường bộ rồi đi đường thủy đến hòn đảo C (như hình vẽ). Biết rằng chi phí đi đường thủy là 5USD/km, chi phí đi đường bộ là 3USD/km. Hỏi cô An phải đi đường bộ một khoảng bao nhiêu km để chi phí là nhỏ nhất.

Xem lời giải »

Câu 5:

Cho hàm số $y = \frac{a x^{2} + x - 1}{4 x^{2} + b x + 9}$ có đồ thị (C), trong đó a, b là các hằng số dương thỏa mãn . Biết rằng (C) có đường tiệm cận ngang y = c và có đúng 1 đường tiệm cận đứng. Tính tổng $T = 3 a + b - 24 c$

Xem lời giải »

Câu 6:

Cho hàm số f (x) có đạo hàm trên R và có đồ thị của hàm y = f'(x) như hình vẽ. Biết rằng $f (0) + f (3) = f (2) + f (5)$ . Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của f(x) trên đoạn $[0; 5]$ lần lượt là:

Xem lời giải »

Câu 7:

Cho hàm số f(x) xác định trên R và có đồ thị f'(x) như hình vẽ. Đặt $g (x) = f (x) - x$ . Hàm số g(x) đạt cực đại tại điểm nào sau đây?

Xem lời giải »

Câu 8:

Một công ty bất động sản có 50 căn hộ cho thuê. Biết rằng nếu cho thuê mỗi căn hộ với giá 2.000.000 đồng một tháng thì mọi căn hộ đều có người thuê. Mỗi căn hộ không thuê nữa (bỏ trống) thì công ty lại phải tăng số tiền thuê của những căn hộ còn lại thêm 50.000 đồng. Công ty đã tìm ra phương án cho thuê đạt lợi nhuận lớn nhất. Hỏi thu nhập cao nhất công ty có thể đạt được trong một tháng là bao nhiêu?

Xem lời giải »

❮ Bài trước Bài sau ❯

1000 bài tập trắc nghiệm ôn tập môn Toán có đáp án

Hai điểm M, N lần lượt thuộc hai nhánh của đồ thị hàm số y = (3x - 1)/(x - 3

Xem thêm bài tập Toán có lời giải hay khác: