Hàm số y = mx^4 + (m + 3)x^2 + 2m - 1 chỉ có cực đại mà không có cực

Câu hỏi:

Hàm số $y=m{x}^4+\left(m+3\right)x^2+2m-1$ chỉ có cực đại mà không có cực tiểu khi

A. $m\le -3$

B. m > 3

C. -3 < m < 1

D. $m\le -3\vee m>0$

Trả lời:

Đáp án A

+ Với m = 0 thì ta có hàm số $y=3x^2-1$ có 3 > 0 nên đồ thị hàm số là một parabol có bề lõm hướng lên trên $\Rightarrow$ hàm số có điểm cực tiểu x = 0.

+ Với $m\ne 0$ ta có hàm trùng phương $y=m{x}^4+(m+3)x^2+2m-1$

$\Rightarrow y\text{'}=4m{x}^3+2(m+3)x=x\left(4m{x}^2+2m+6\right)$; $y\text{'}\text{'}=12m{x}^2+2(m+3)$

Xét phương trình $y\text{'}=0\iff x\left(4m{x}^2+2m+6\right)\iff \left[\begin{array}{c}x=0\\ x^2=\frac{-m-3}{2m} \left(2\right)\end{array}\right.$

Nếu hàm số có cực đại mà không có cực tiểu thì phương trình y' = 0 có nghiệm x = 0 duy nhất . hay phương trình (2) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép x = 0.

$\iff \frac{-m-3}{2m}\le 0\iff \frac{m+3}{2m}\ge 0\iff \left[\begin{array}{c}m\le -3\\ m>0\end{array}\right.$

Với m > 0 thì phương trình y’ = 0 có nghiệm duy nhất x = 0 và $y\text{'}\text{'}\left(0\right)=2\left(m+3\right)>0$, do đó x = 0 điểm cực tiểu của hàm số (loại)

Với m < - 3 thì $y\text{'}\text{'}\left(0\right)=2\left(m+3\right)<0$, do đó x = 0 là điểm cực đại (nhận)

Với m = - 3 thì $y\text{'}=-12x^3=0\iff x=0$ và y’ đổi dấu từ dương sang âm qua nghiệm x = 0

Do đó x = 0 là điểm cực đại của hàm số (nhận)

Vậy $m\le -3$