Hỏi có bao nhiêu giá trị m nguyên trong [-2017; 2017] để phương trình log(mx)
Câu hỏi:
Hỏi có bao nhiêu giá trị m nguyên trong [-2017; 2017] để phương trình log(mx) = 2.log(x + 1) có nghiệm duy nhất?
Trả lời:
log(mx) = 2.log(x + 1) ⇔ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge - 1}\\{mx = {{\left( {x + 1} \right)}^2}}\end{array}} \right.\) (1)
Ta thấy x = 0 không phải nghiệm của (1).
Khi đó (1) ⇔ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge - 1}\\{m = \frac{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}{x} = x + \frac{1}{x} + 2}\end{array}} \right.\) (2)
Xét hàm số \(f\left( x \right) = x + \frac{1}{x} + 2,\) x ∈ (-1; +∞) \ {0} có
\(f'\left( x \right) = 1 - \frac{1}{{{x^2}}} = 0\) ⇔ \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\\{x = - 1\left( L \right)}\end{array}} \right.\)
Bảng biến thiên:
![Hỏi có bao nhiêu giá trị m nguyên trong [-2017; 2017] để phương trình log(mx) (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2023/08/blobid31-1692348242.png)
Dựa vào bảng biên thiên, ta có: phương trình đã cho có 1 nghiệm duy nhất
⇔ \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m < 0}\\{m = 4}\end{array}} \right.\)
Mà m ∈ ℤ, m ∈ [−2017; 2017]
⇒ m ∈ {−2017; −2016; ...; −1} ∪ {4}
⇒ Có 2018 giá trị của m thỏa mãn.
