Cho hàm số y = x^3 - 3mx + 1. Tìm m để đồ thị hàm số có hai điểm cực

Cho hàm số $y = {x^3} - 3mx + 1.$ Tìm m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị B và C sao cho tam giác ABC cân tại A, với A(2, 3).

TXĐ: D = ℝ.

Ta có: $y' = 3{x^2} - 3m = 0$ ⇔ x² = m.

Để hàm số có hai điểm cực trị thì phương trình $y' = 0$ có hai điểm cực trị ⇔ m > 0.

$y' = 0$ ⇔ $\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \sqrt m }\\{x = - \sqrt m }\end{array}} \right.$ ⇒ $\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{y = - 2m\sqrt m + 1}\\{y = 2m\sqrt m + 1}\end{array}} \right.$

⇒ $\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{B\left( {\sqrt m ;\,\, - 2m\sqrt m + 1} \right)}\\{C\left( { - \sqrt m ;\,\,2m\sqrt m + 1} \right)}\end{array}} \right.$

∆ABC cân tại A ⇒ AB = AC ⇔ AB² = AC²

⇔ ${\left( {\sqrt m - 2} \right)^2} + {\left( { - 2m\sqrt m - 2} \right)^2} = {\left( { - \sqrt m - 2} \right)^2} + {\left( {2m\sqrt m - 2} \right)^2}$

⇔ $m - 4\sqrt m + 4 + 4{m^3} + 8m\sqrt m + 4 = m + 4\sqrt m + 4 + 4{m^3} - 8m\sqrt m + 4$

⇔ $8\sqrt m - 16m\sqrt m = 0$

⇔ $8\sqrt m \left( {1 - 2m} \right) = 0$

⇔ $m = \frac{1}{2}$ (do m > 0)

Vậy $m = \frac{1}{2}.$