Cho hàm số y = x^3 - 3mx + 1. Tìm m để đồ thị hàm số có hai điểm cực
Câu hỏi:
Cho hàm số \(y = {x^3} - 3mx + 1.\) Tìm m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị B và C sao cho tam giác ABC cân tại A, với A(2, 3).
Trả lời:
TXĐ: D = ℝ.
Ta có: \(y' = 3{x^2} - 3m = 0\) ⇔ x2 = m.
Để hàm số có hai điểm cực trị thì phương trình \(y' = 0\) có hai điểm cực trị ⇔ m > 0.
\(y' = 0\) ⇔ \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \sqrt m }\\{x = - \sqrt m }\end{array}} \right.\) ⇒ \[\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{y = - 2m\sqrt m + 1}\\{y = 2m\sqrt m + 1}\end{array}} \right.\]
⇒ \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{B\left( {\sqrt m ;\,\, - 2m\sqrt m + 1} \right)}\\{C\left( { - \sqrt m ;\,\,2m\sqrt m + 1} \right)}\end{array}} \right.\)
∆ABC cân tại A ⇒ AB = AC ⇔ AB2 = AC2
⇔ \({\left( {\sqrt m - 2} \right)^2} + {\left( { - 2m\sqrt m - 2} \right)^2} = {\left( { - \sqrt m - 2} \right)^2} + {\left( {2m\sqrt m - 2} \right)^2}\)
⇔ \(m - 4\sqrt m + 4 + 4{m^3} + 8m\sqrt m + 4 = m + 4\sqrt m + 4 + 4{m^3} - 8m\sqrt m + 4\)
⇔ \(8\sqrt m - 16m\sqrt m = 0\)
⇔ \(8\sqrt m \left( {1 - 2m} \right) = 0\)
⇔ \(m = \frac{1}{2}\) (do m > 0)
Vậy \(m = \frac{1}{2}.\)
