Một khối gỗ có hình trụ với bán kính đáy bằng 6 và chiều cao bằng 8.

Một khối gỗ có hình trụ với bán kính đáy bằng 6 và chiều cao bằng 8. Trên một đường tròn đáy nào đó ta lấy hai điểm A, B sao cho cung AB có số đo bằng  $120°.$ Người ta cắt khúc gỗ bởi một mặt phẳng đi qua A, B và tâm của hình trụ (tâm của hình trụ là trung điểm của đoạn nối tâm hai đáy) để được thiết diện như hình vẽ. Tính diện tích S của thiết diện thu được.

Trong mặt phẳng cắt dựng hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ. Khi đó thiết diện là 1 phần bị cắt của Elip có phương trình dạng   $\left(E\right):\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1.$

Ta có:   $\widehat{AKB}=120°$⇒  $KH=KB.\sin 30°=3;$  $AB=2AH=6\sqrt{3}.$

Khi đó độ dài trục bé là MN = 2b = 2R = 12 và  $OH=\sqrt{O{K}^2+K{H}^2}=5.$

Như vậy  $\left(E\right):\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{{36}^2}=1.$ Do (E) qua  $B\left(5;3\sqrt{3}\right)$ ⇒ a = 10.

Khi đó  $S=2\underset{-5}{\overset{5}{\int }}6\sqrt{1-\frac{x^2}{100}}dx=114,79=20\pi +30\sqrt{3}.$