Tìm GTLN, GTNN của hàm số: y = sin^2 x + cosx + 2
Câu hỏi:
Trả lời:
Ta có: y = sin2 x + cosx + 2
= 1 − cos2 x + cosx + 2
= −cos2 x + cosx + 3
\( = - \left( {{{\cos }^2}x - \cos x + \frac{1}{4}} \right) + \frac{{13}}{4}\)
\( = - {\left( {\cos x - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{{13}}{4}\)
Do −1 ≤ cos x ≤ 1
\( \Rightarrow - \frac{3}{2} \le \cos x - \frac{1}{2} \le \frac{1}{2}\)
\( \Rightarrow 0 \le {\left( {\cos x - \frac{1}{2}} \right)^2} \le \frac{9}{4}\)
\( \Rightarrow - \frac{9}{4} \le - {\left( {\cos x - \frac{1}{2}} \right)^2} \le 0\)
\( \Rightarrow 1 \le - {\left( {\cos x - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{{13}}{4} \le \frac{{13}}{4}\)
+) min y = 1
Dấu “=” xảy ra Û x = −p + k2p, (k Î ℤ)
+) \(\max y = \frac{{13}}{4}\)
Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow x = \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi ,\;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
Vậy GTNN của hàm số là 1 khi x = −p + k2p, (k Î ℤ) và GTLN của hàm số là \(\frac{{13}}{4}\) khi \(x = \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi ,\;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
