Tìm GTLN, GTNN của hàm số: y = sin^2x + 2sinx.cosx - cos^2x + 5

Tìm GTLN, GTNN của hàm số: y = sin²x + 2sinx.cosx − cos²x + 5.

Ta có: y = sin²x + 2sinx.cosx − cos²x + 5

= (sin²x − cos²x) + 2sinx.cosx + 5

= −cos 2x + sin 2x + 5

= sin 2x − cos 2x + 5

$= \sqrt 2 \sin \left( {2x - \frac{\pi }{4}} \right) + 4$

Do $- 1 \le \sin \left( {2x - \frac{\pi }{4}} \right) \le 1$

$\Rightarrow - \sqrt 2 \le \sqrt 2 \sin \left( {2x - \frac{\pi }{4}} \right) \le \sqrt 2$

$\Rightarrow 5 - \sqrt 2 \le \sqrt 2 \sin \left( {2x - \frac{\pi }{4}} \right) + 5 \le 5 + \sqrt 2$

+) $\min y = 5 - \sqrt 2$

Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow 2x - \frac{\pi }{4} = - \frac{\pi }{2} + k2\pi$

$\Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{8} + k\pi ,\;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

+) $\max y = 5 + \sqrt 2$

Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow 2x - \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{2} + k2\pi$

$\Leftrightarrow x = \frac{{3\pi }}{8} + k\pi ,\;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

Vậy GTNN của hàm số là $5 - \sqrt 2$ khi $x = - \frac{\pi }{8} + k\pi ,\;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$ và GTLN của hàm số là $5 + \sqrt 2$ khi $x = \frac{{3\pi }}{8} + k\pi ,\;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.