Tìm 7 số nguyên dương sao cho tích các bình phương của chúng bằng 2 lần tổng các bình phương của chúng.

Tìm 7 số nguyên dương sao cho tích các bình phương của chúng bằng 2 lần tổng các bình phương của chúng.

Gọi 7 số nguyên dương phải tìm là x₁, x₂, ...., x₇. Ta có:

Giả sử x₁ ≥ x₂ ≥ ....... ≥ x₇ ≥ 1 có:

 $x_1^2.x_2^2\mathrm{...}{x}_7^2\le 2.7x_1^2=14x_1^2$

$\Rightarrow x{}_2{}^2.\mathrm{...}{x}_7^2\le 14$

$\Rightarrow x_2\mathrm{....}{x}_7\le \sqrt{14}<4=2^2$

⇒ x₂ = … = x₇ = 1

$\Rightarrow x_1^2.x_2^2=2\left(x_1^2+x_2^2+5\right)$

Đặt   với a, b là các số nguyên dương chính phương:

ab = 2a + 2b + 10 ⇔ (a – 2)(b – 2) = 14.1 = 7.2

Trường hợp 1: $\left\{\begin{array}{l}a-2=14\\ b-2=2\end{array}\right.\Rightarrow b=3$  không là số chính phương

Trường hợp 2:  $\left\{\begin{array}{l}a-2=7\\ b-2=2\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}a=9\\ b=4\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{x}_1=3\\ x_2=2\end{array}\right.$

Vậy 7 số cần tìm lần lượt là: 3; 2; 1; 1; 1; 1; 1.