Tìm điều kiện của a để phương trình a^2 / (1 - tan^2 x) = (sin^2x + a^2 - 2)
Câu hỏi:
Tìm điều kiện của a để phương trình \[\frac{{{a^2}}}{{1 - {{\tan }^2}x}} = \frac{{{{\sin }^2}x + {a^2} - 2}}{{\cos 2x}}\] có nghiệm.
Trả lời:
Điều kiện: \[\left\{ \begin{array}{l}1 - {\tan ^2}x \ne 0\\\cos 2x \ne 0\\\cos x \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{{{{\cos }^2}x - {{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}} \ne 0\\\cos 2x \ne 0\\\cos x \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\cos 2x \ne 0\\\cos x \ne 0\end{array} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \\x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne \frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2}\\x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \end{array} \right.\;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\]
Ta có: \[\frac{{{a^2}}}{{1 - {{\tan }^2}x}} = \frac{{{{\sin }^2}x + {a^2} - 2}}{{\cos 2x}}\]
\( \Leftrightarrow \frac{{{a^2}}}{{\frac{{{{\cos }^2}x - {{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}}}} = \frac{{{{\sin }^2}x + {a^2} - 2}}{{\cos 2x}}\)
\( \Leftrightarrow \frac{{{a^2}{{\cos }^2}x}}{{\cos 2x}} = \frac{{{{\sin }^2}x + {a^2} - 2}}{{\cos 2x}}\)
Þ a2cos2 x = sin2 x + a2 − 2
Û a2cos2 x = 1 − cos2 x + a2 − 2
Û (a2 + 1)cos2 x = a2 − 1
\( \Leftrightarrow {\cos ^2}x = \frac{{{a^2} + 1}}{{{a^2} - 1}} < 1,\;\forall x,\;a\)
Vì cos x ¹ 0 Þ 0 < cos2 x ≤ 1
Û cos2 x > 0 Û a2 − 1 > 0 Þ |a| > 1
Vậy với |a| > 1 thì phương trình có nghiệm.
