Tìm GTLN của S = căn bậc hai (p (p - a) (p - b) (p - c) (a, b, c là 3 cạnh trong
Câu hỏi:
Tìm GTLN của S = √p(p−a)(p−b)(p−c)√p(p−a)(p−b)(p−c)(a, b, c là 3 cạnh trong 1 tam giác và p là nửa chu vi).
Trả lời:
S = √p(p−a)(p−b)(p−c)√p(p−a)(p−b)(p−c)
=14√(a+b+c)(b+c−a)(c+a−b)(a+b−c)=14√(a+b+c)(b+c−a)(c+a−b)(a+b−c)
=√34√a+b+c3(b+c−a)(c+a−b)(a+b−c)=√34√a+b+c3(b+c−a)(c+a−b)(a+b−c)
≤√34(a+b+c3+b+c−a+c+a−b+a+b−c4)2≤√34(a+b+c3+b+c−a+c+a−b+a+b−c4)2
≤√34(a+b+c3)2=p23√3≤√34(a+b+c3)2=p23√3
Vậy GTLN của S = p23√3p23√3 khi a+b+c3=a+b−c=b+c−a=c+a−ba+b+c3=a+b−c=b+c−a=c+a−b
Hay a = b = c, tức tam giác đó là tam giác đều.
