Tìm GTLN, GTNN của biểu thức A = (x^2 - 8x + 25) / (x^2 - 6x + 25)

Ta có: $A - \frac{1}{2} = \frac{{{x^2} - 8x + 25}}{{{x^2} - 6x + 25}} - \frac{1}{2}$

⇔ $A - \frac{1}{2} = \frac{{2\left( {{x^2} - 8x + 25} \right)}}{{2\left( {{x^2} - 6x + 25} \right)}} - \frac{{{x^2} - 8x + 25}}{{2\left( {{x^2} - 6x + 25} \right)}}$

⇔ $A - \frac{1}{2} = \frac{{2{x^2} - 16x + 50 - {x^2} + 6x - 25}}{{2\left( {{x^2} - 6x + 25} \right)}}$

⇔ $A - \frac{1}{2} = \frac{{{x^2} - 10x + 25}}{{2\left( {{x^2} - 6x + 25} \right)}}$

⇒ $A - \frac{1}{2} = \frac{{{{\left( {x - 5} \right)}^2}}}{{2\left( {{x^2} - 6x + 25} \right)}} \ge 0,\forall x$

⇒ $A \ge \frac{1}{2}$

Dấu “=” xảy ra khi x – 5 = 0 hay x = 5

Lại có: A = $\frac{{{x^2} - 8x + 25}}{{{x^2} - 6x + 25}}$

⇒$A - \frac{9}{8} = \frac{{{x^2} - 8x + 25}}{{{x^2} - 6x + 25}} - \frac{9}{8}$

⇔ $A - \frac{9}{8} = \frac{{8\left( {{x^2} - 8x + 25} \right)}}{{8\left( {{x^2} - 6x + 25} \right)}} - \frac{{9\left( {{x^2} - 8x + 25} \right)}}{{8\left( {{x^2} - 6x + 25} \right)}}$

⇔ $A - \frac{9}{8} = \frac{{8{x^2} - 64x + 200 - 9{x^2} + 54x - 225}}{{8\left( {{x^2} - 6x + 25} \right)}}$

⇔ $A - \frac{9}{8} = \frac{{ - {x^2} - 10x - 25}}{{8\left( {{x^2} - 6x + 25} \right)}}$

⇔ $A - \frac{9}{8} = \frac{{ - {{\left( {x + 5} \right)}^2}}}{{8\left( {{x^2} - 6x + 25} \right)}} \le 0,\forall x$

Suy ra: $A \le \frac{9}{8}$

Dấu “=” xảy ra khi x + 5 = 0 hay x = –5

Vậy x = 5 thì biểu thức có GTNN là $\frac{1}{2}$ và x = –5 thì biểu thức có GTLN là $\frac{9}{8}$.