Tìm m để phương trình x^2 - (2m + 1)x + m^2 + 1=0 có 2 nghiệm x1; x2 thỏa mãn
Câu hỏi:
Tìm m để phương trình x2 − (2m + 1)x + m2 + 1=0 có 2 nghiệm x1; x2 thỏa mãn x2 = 2x1.
A. m = 1, m = 7.
B. m = 2, m = 7.
C. m = 1, m = 5.
D. m = 1, m = 0.
Trả lời:
Đáp án đúng là: A
△ = (2m + 1)2 ‒ 4(m2 + 1) = 4m2 + 4m + 1 ‒ 4m2 ‒ 4 = 4m ‒ 3.
Để phương trình có 2 nghiệm
Theo hệ thức Vi-ét ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1} + {x_2} = 2m + 1}\\{{x_1}{x_2} = {m^2} + 1}\end{array}} \right.\)
Để 2 nghiệm \({x_1};{x_2}\) thỏa mãn \({x_2} = 2{x_1}\) ta có:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1} + {x_2} = 2m + 1}\\{{x_1}{x_2} = {m^2} + 1}\\{{x_2} = 2{x_1}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3{x_1} = 2m + 1}\\{2x_1^2 = {m^2} + 1}\\{{x_2} = 2{x_1}}\end{array}} \right.} \right.\)
\({x_1} = \frac{{2m + 1}}{3}\)
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}3\\{{x_2} = \frac{{2\left( {2m + 1} \right)}}{3}}\\{2.\frac{{{{(2m + 1)}^2}}}{9} = {m^2} + 1\left( {\rm{*}} \right)}\end{array}} \right.\)
Giải (*) :
\(\frac{{2{{(2m + 1)}^2}}}{9} = {m^2} + 1 \Leftrightarrow 2\left( {4{m^2} + 4m + 1} \right) = 9\left( {{m^2} + 1} \right) \Leftrightarrow {m^2} - 8m + 7 = 0\)
\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m = 1}\\{m = 7}\end{array}\left( {{\rm{tm}}} \right)} \right.\)
Vậy m = 1; m = 7.
