Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y=x^3-3mx^2+2

Câu hỏi:

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số $y = x^{3} - 3 m x^{2} + 2$ có hai điểm cực trị A, B sao cho A, B và $M (1; - 2)$ thẳng hàng.

A. m=0

B. $m = \sqrt{2}$

C. $m = - \sqrt{2}$

D. $m = \pm \sqrt{2}$

Trả lời:

Ta có $y' = 3 x^{2} - 6 m x = 3 x (x - 2 m); y' = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = 2 m \end{array} .$

Hàm số có hai điểm cực trị $\Leftrightarrow y' = 0$ có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow 0 \neq 2 m \Leftrightarrow m \neq 0.$

Tọa độ các điểm cực trị của đồ thị hàm số là: $A (0; 2)$ và $B (2 m; 2 - 4 m^{3})$ .

Suy ra $\vec{M A} = (- 1; 4)$ , $\vec{M B} = (2 m - 1; 4 - 4 m^{3})$ .

Theo giả thiết A, B và M thẳng hàng $\Leftrightarrow \frac{2 m - 1}{- 1} = \frac{4 - 4 m^{3}}{4} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = 0 (l o a ï i) \\ m = \pm \sqrt{2} (t h o û a m a õ n) \end{array} .$

Chọn D.

Xem thêm bài tập Toán có lời giải hay khác:

Câu 1:

Gọi $x_{1}, x_{2}$ là hai điểm cực trị của hàm số $y = x^{3} - 3 m x^{2} + 3 (m^{2} - 1) x - m^{3} + m$ . Tìm các giá trị của tham số m để $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} - x_{1} x_{2} = 7.$

Xem lời giải »

Câu 2:

Gọi $x_{1}, x_{2}$ là hai điểm cực trị của hàm số $y = 4 x^{3} + m x^{2} - 3 x$ . Tìm các giá trị thực của tham số m để $x_{1} + 4 x_{2} = 0.$

Xem lời giải »

Câu 3:

Cho hàm số $y = x^{3} - 3 x^{2} - 9 x + m$ . Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số.

Xem lời giải »

Câu 4:

Cho hàm số $y = \frac{1}{3} x^{3} - (m + 2) x^{2} + (2 m + 3) x + 2017$ với m là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của m để x=1 là hoành độ trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số.

Xem lời giải »

Câu 5:

Tìm giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số $y = - x^{3} + 3 m x + 1$ có hai điểm cực trị A, B sao cho tam giác OAB vuông tại O, với O là gốc tọa độ.