Tìm x để y = sinx + cosx + sin2x - 1 đạt giá trị lớn nhất

Tìm x để y = sinx + cosx + sin2x – 1 đạt giá trị lớn nhất.

Đặt t = sinx + cos x

Khi đó: t = $\sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)$

Vậy t ∈ $\left[ { - \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right]$

Và t² = sin²x + cos²x + 2sinxcosx = 1 + 2sinxcosx

Suy ra: 2sinxcosx = sin2x = t² – 1

Phương trình đã cho trở thành: y = t + 1 – t² – 1 = –t² + t

Hàm số bậc 2 này có đồ thị là 1 Parabol úp xuống, với tọa độ đỉnh là $\left( {\frac{1}{2};\frac{1}{4}} \right)$, đây cũng điểm cao nhất của đồ thị, tức là khi hàm số đạt giá trị lớn nhất

Suy ra: GTLN của hàm số tại t = $\frac{1}{2}$

Suy ra: $\sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{1}{2}$

⇔ $\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{1}{{2\sqrt 2 }}$

Do đó: $\left[ \begin{array}{l}x = - \frac{\pi }{4} + \arctan \left( {\frac{1}{{2\sqrt 2 }}} \right) + k2\pi \\x = \frac{{3\pi }}{4} - \arctan \left( {\frac{1}{{2\sqrt 2 }}} \right) + k2\pi \end{array} \right.$.