Tìm x để y = sinx + cosx + sin2x - 1 đạt giá trị lớn nhất
Câu hỏi:
Tìm x để y = sinx + cosx + sin2x – 1 đạt giá trị lớn nhất.
Trả lời:
Đặt t = sinx + cos x
Khi đó: t = \(\sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)\)
Vậy t ∈ \(\left[ { - \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right]\)
Và t2 = sin2x + cos2x + 2sinxcosx = 1 + 2sinxcosx
Suy ra: 2sinxcosx = sin2x = t2 – 1
Phương trình đã cho trở thành: y = t + 1 – t2 – 1 = –t2 + t
Hàm số bậc 2 này có đồ thị là 1 Parabol úp xuống, với tọa độ đỉnh là \(\left( {\frac{1}{2};\frac{1}{4}} \right)\), đây cũng điểm cao nhất của đồ thị, tức là khi hàm số đạt giá trị lớn nhất
Suy ra: GTLN của hàm số tại t = \(\frac{1}{2}\)
Suy ra: \(\sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{1}{2}\)
⇔ \(\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{1}{{2\sqrt 2 }}\)
Do đó: \[\left[ \begin{array}{l}x = - \frac{\pi }{4} + \arctan \left( {\frac{1}{{2\sqrt 2 }}} \right) + k2\pi \\x = \frac{{3\pi }}{4} - \arctan \left( {\frac{1}{{2\sqrt 2 }}} \right) + k2\pi \end{array} \right.\].
