Tính giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 3x + 4/x^2 trên khoảng (0; + vô cùng)
Câu hỏi:
Tính giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = 3{\rm{x}} + \frac{4}{{{x^2}}}\) trên khoảng (0; +∞).
A. \(\mathop {\min }\limits_{\left( {0; + \infty } \right)} y = 2\sqrt[3]{9}\)
B. \(\mathop {\min }\limits_{\left( {0; + \infty } \right)} y = 3\sqrt[3]{9}\)
C. \(\mathop {\min }\limits_{\left( {0; + \infty } \right)} y = 7\)
D. \(\mathop {\min }\limits_{\left( {0; + \infty } \right)} y = \frac{{33}}{5}\).
Trả lời:
Đáp án đúng là: B
Ta có: \(y = 3{\rm{x}} + \frac{4}{{{x^2}}} = \frac{{3{\rm{x}}}}{2} + \frac{{3{\rm{x}}}}{2} + \frac{4}{{{x^2}}}\)
Áp dụng bất đẳng thức Cô – si ta có
\(\frac{{3{\rm{x}}}}{2} + \frac{{3{\rm{x}}}}{2} + \frac{4}{{{x^2}}} \ge 3\sqrt[3]{{\frac{{3{\rm{x}}}}{2}.\frac{{3x}}{2}.\frac{4}{{{x^2}}}}} = 3\sqrt[3]{9}\)
Dấu “ = ” xảy ra khi \(\frac{{3{\rm{x}}}}{2} = \frac{4}{{{x^2}}} \Leftrightarrow x = \sqrt[3]{{\frac{8}{3}}}\)
Vậy ta chọn đáp án B.
