Trong năm đầu tiên đi làm, anh A được nhận lương là 10 triệu đồng mỗi tháng

Trong năm đầu tiên đi làm, anh A được nhận lương là 10 triệu đồng mỗi tháng. Cứ hết một năm, anh A lại được tăng lương, mỗi tháng năm sau tăng 12% so với mỗi tháng năm trước. Mỗi khi lĩnh lương, anh A đều phải cất đi phần lương tăng so với năm ngay trước để tiết kiệm mua ô tô. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm thì anh A mua được ô tô giá 500 triệu, biết rằng anh A được gia đình hỗ trợ 32% giá trị chiếc xe?

A.11

B. 12

C. 13

D. 10

Đáp án đúng là: C

Lương năm đầu tiên anh A nhận được là: 

\({T_1} = 10.12 = 120\) (triệu đồng)

Phần lương tăng của anh \(A\) sau năm thứ 2 là:

\({T_2} = 120(1 + 12\% ) - 120 = 120.12\% \) triệu đồng

Phần lương của anh \(A\) sau năm thứ 3 là:

\({T_3} = 120{(1 + 12\% )^2} - 120{(1 + 12\% )^1}\)

\( = 120(1 + 12\% ).12\% \) (triệu đồng)

Phần lương của anh A sau năm thứ n là:       

\({T_n} = 120{(1 + 12\% )^{n - 2}} \cdot 12\% \) triệu đồng

Số tiền anh \(A\) có được sau n năm là:

\(T = {T_2} + {T_3} + \ldots + {T_n}\)

\( = 120.12\% \cdot \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{1 + \left( {1 + 12\% } \right) + {{\left( {1 + 12\% } \right)}^2} + \ldots + {{\left( {1 + 12\% } \right)}^{n - 2}}}\end{array}} \right]\)\( = 120.12\% \cdot \frac{{{{\left( {1 + 12\% } \right)}^{n - 1}} - 1}}{{\left( {1 + 12\% } \right) - 1}}\)

\( = 120\left[ {{{\left( {1 + 12\% } \right)}^{n - 1}} - 1} \right]\)

Đề đủ tiền mua xe thì

\(120\left[ {{{\left( {1 + 12\% } \right)}^{n - 1}} - 1} \right] \ge 68\% .500\)

\( \Leftrightarrow {\left( {1 + 12\% } \right)^{n - 1}} \ge \frac{{23}}{6}\)

\( \Leftrightarrow n - 1 \ge {\log _{1 + 12\% }}\frac{{23}}{6}\)

\( \Leftrightarrow n \ge 12,8.\)

Do đó n = 13.