Với giá trị nào của m, đồ thị hàm số y = x^4 - 2mx^2 + m^4 + 2m có ba điểm

Câu hỏi:

Với giá trị nào của m, đồ thị hàm số $y=x^4-2m{x}^2+m^4+2m$ có ba điểm cực trị tạo thành tam giác đều?

A. m = 0 

B. $m = \sqrt[3]{3}$

C. $m = -\sqrt[3]{3}$

D. Không tồn tại

Trả lời:

Chọn B

$y\text{'}=4x^3-4mx=4x(x^2-m)$

Hàm số có ba điểm cực trị => y’=0 có ba nghiệm phân biệt <=> m > 0.

Khi đó đồ thị hàm số có ba điểm cực trị là :

$A(0; m^4+2m), B(-\sqrt{m}; m^4-m^2+2m),$ $C(\sqrt{m};m^4-m^2+2m)$

ΔABC đều khi AB = AC= BC

Ta có: $\overrightarrow{AB}=\left(-\sqrt{m};-m^2\right)$

$\overrightarrow{AC}=\left(\sqrt{m}, -m^2\right)$

$\overrightarrow{BC}=\left(2\sqrt{m}; 0\right)$

Đối chiếu với điều kiện tồn tại cực trị ta có $m = \sqrt[3]{3}$ là giá trị cần tìm.