Biết rằng giá trị nhỏ nhất của hàm số trên bằng 20. Mệnh đề nào sau đây đúng

Câu hỏi:

Biết rằng giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=mx+\frac{36}{x+1}$ trên $\left[0;3\right]$ bằng 20. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. $4<m\le 8$

B. $0<m\le 2$

C. $2<m\le 4$

D. $m>8$

Trả lời:

Ta có: $y\text{'}=m-\frac{36}{{\left(x+1\right)}^2};\forall x\in \left[0;3\right]$ và  $y\left(0\right)=36,y\left(3\right)=3m+9$

TH1: hàm số nghịch biến trên đoạn $\left[0;3\right]$ $\iff \left\{\begin{array}{c}m\le \frac{9}{4}\\ \min y=3m+9=20\end{array}\right.$  (vô nghiệm)

TH2: phương trình $y\text{'}=m-\frac{36}{{\left(x+1\right)}^2}\Rightarrow y\text{'}=0\iff x=-1+\frac{6}{\sqrt{m}}$ với m > 0

Giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng 20  $\iff y\left(-1+\frac{6}{\sqrt{m}}\right)=20$

$\iff m\left(-1+\frac{6}{\sqrt{m}}\right)+\frac{36}{-1+\frac{6}{\sqrt{m}}+1}=20\iff -m+6\sqrt{m}+6\sqrt{m}=20$

$\iff -m+12\sqrt{m}=20\iff \left[\begin{array}{c}m=4\\ m=100\end{array}\right.$

Với m = 100 (loại) vì  $-1+\frac{6}{\sqrt{100}}=-\frac{2}{5}\notin \left[0;3\right]$

Vậy  $m=4\in \left(2;4\right]$

Đáp án cần chọn là: C