Các số thực a,b,c,d thỏa mãn đồng thời các điều kiện abc - d = 1, bcd - a = 2

Các số thực a,b,c,d thỏa mãn đồng thời các điều kiện abc – d = 1, bcd – a = 2, cda – b = 3 và dab – c = –6. Chứng minh: a + b + c + d ≠ 0.

Giả sử a + b + c + d = 0 ⇒ b + c = −(a + d)

Cộng từng vế các điều kiện trên ta được

abc + bcd + cda + dab − (a + b + c + d) = 0

⇒ abc + bcd + cda + dab = 0

⇔ bc(a + d) + ad(b +c) = 0

⇔ bc(a + d) − ad(a + d) = 0

⇔ (a + d)(bc − ad) = 0

TH1: a + d = 0

Từ : abc – d = 1,bcd – a = 2, ta cộng lại ta được

abc + bcd−(a + d) = 3

⇔ bc(a + d)−(a + d) = 3

⇔ (a + d)(bc − 1) = 3

⇔ 0 = 3 (Vô lí)

Th2 : bc – ad = 0

Nếu b = 0 ⇒ a + c + d = 0(1)

Từ abc –d = 1 ⇒ 0 −d = 1 ⇒ d = −1

Từ bcd – a =2 ⇒ a = −2

Từ dab – c =−6 ⇒ c = 6

Lúc này ⇒ a + c + d = − 2 + 6 + (−1) = 3 ≠ 0 (Trái với (1)

Do đó b ≠ 0, tương tự d ≠ 0

Từ bc – ad = 0 ⇒ ab = cd (b, d ≠ 0)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau

⇒ $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{{a + c}}{{b + d}} = \frac{{ - \left( {b + d} \right)}}{{b + d}} = - 1$

⇒ a = −b ⇒ a + b = 0

Tương tụ như với a + d = 0 ⇒ Vô lí

Vậy a + b + c + d ≠ 0 (đpcm).