Các số thực a,b,c,d thỏa mãn đồng thời các điều kiện abc - d = 1, bcd - a = 2
Câu hỏi:
Các số thực a,b,c,d thỏa mãn đồng thời các điều kiện abc – d = 1, bcd – a = 2, cda – b = 3 và dab – c = –6. Chứng minh: a + b + c + d ≠ 0.
Trả lời:
Giả sử a + b + c + d = 0 ⇒ b + c = −(a + d)
Cộng từng vế các điều kiện trên ta được
abc + bcd + cda + dab − (a + b + c + d) = 0
⇒ abc + bcd + cda + dab = 0
⇔ bc(a + d) + ad(b +c) = 0
⇔ bc(a + d) − ad(a + d) = 0
⇔ (a + d)(bc − ad) = 0
TH1: a + d = 0
Từ : abc – d = 1,bcd – a = 2, ta cộng lại ta được
abc + bcd−(a + d) = 3
⇔ bc(a + d)−(a + d) = 3
⇔ (a + d)(bc − 1) = 3
⇔ 0 = 3 (Vô lí)
Th2 : bc – ad = 0
Nếu b = 0 ⇒ a + c + d = 0(1)
Từ abc –d = 1 ⇒ 0 −d = 1 ⇒ d = −1
Từ bcd – a =2 ⇒ a = −2
Từ dab – c =−6 ⇒ c = 6
Lúc này ⇒ a + c + d = − 2 + 6 + (−1) = 3 ≠ 0 (Trái với (1)
Do đó b ≠ 0, tương tự d ≠ 0
Từ bc – ad = 0 ⇒ ab = cd (b, d ≠ 0)
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau
⇒ \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{{a + c}}{{b + d}} = \frac{{ - \left( {b + d} \right)}}{{b + d}} = - 1\)
⇒ a = −b ⇒ a + b = 0
Tương tụ như với a + d = 0 ⇒ Vô lí
Vậy a + b + c + d ≠ 0 (đpcm).
