cho a,b,c,d>0. cmr a^4/a^3 2b^3 b^4/b^3 2c^3 c^4/c^3 2d^3 d^4/d^3 2a^3>=a b c d/3

Câu hỏi:

Cho a, b, c, d > 0. Chứng minh rằng $\frac{a^{4}}{a^{3} + 2 b^{3}} + \frac{b^{4}}{b^{3} + 2 c^{3}} + \frac{c^{4}}{c^{3} + 2 d^{3}} + \frac{d^{4}}{d^{3} + 2 a^{3}} \geq \frac{a + b + c + d}{3}$

Trả lời:

Vì a, b, c > 0 nên a³, b³, c³ > 0.

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số a³, b³, c³, ta được: $a^{3} + b^{3} + c^{3} \geq 3 \sqrt[3]{a^{3} . b^{3} . c^{3}}$ .

$\Rightarrow \frac{1}{a^{3} + b^{3} + c^{3}} \leq \frac{1}{3 \sqrt[3]{a^{3} . b^{3} . c^{3}}}$ .

$\Rightarrow - \frac{1}{a^{3} + b^{3} + c^{3}} \geq - \frac{1}{3 \sqrt[3]{a^{3} . b^{3} . c^{3}}}$ .

Ta có $\frac{a^{4}}{a^{3} + 2 b^{3}} = a - \frac{2 a b^{3}}{a^{3} + b^{3} + b^{3}} \geq a - \frac{2 a b^{3}}{3 \sqrt[3]{a^{3} . b^{3} . b^{3}}} = a - \frac{2}{3} b$ (1)

Chứng minh tương tự, ta được:

⦁ $\frac{b^{4}}{b^{3} + 2 c^{3}} \geq b - \frac{2}{3} c$ (2)

⦁ $\frac{c^{4}}{c^{3} + 2 d^{3}} \geq c - \frac{2}{3} d$ (3)

⦁ $\frac{d^{4}}{d^{3} + 2 a^{3}} \geq d - \frac{2}{3} a$ (4)

Lấy (1) + (2) + (3) + (4) vế theo vế, ta được:

$\frac{a^{4}}{a^{3} + 2 b^{3}} + \frac{b^{4}}{b^{3} + 2 c^{3}} + \frac{c^{4}}{c^{3} + 2 d^{3}} + \frac{d^{4}}{d^{3} + 2 a^{3}} \geq \frac{a}{3} + \frac{b}{3} + \frac{c}{3} + \frac{d}{3} = \frac{a + b + c + d}{3}$ .

Vậy ta có điều phải chứng minh.

Xem thêm bài tập Toán có lời giải hay khác:

Câu 1:

Cho bốn số nguyên dương a, b, c, d thỏa mãn a² + b² = c² + d². Chứng minh rằng a + b + c + d là hợp số.

Xem lời giải »

Câu 2:

Cho x + y = 3. Tính giá trị biểu thức:

A = x³ + x²y – 3x² + xy + y² – 4y – x + 3.

Xem lời giải »

Câu 3:

Cho hình vuông, nếu giảm cạnh hình vuông đó đi 7 m thì diện tích giảm đi 84 m². Tính diện tích hình vuông ban đầu.

Xem lời giải »

Câu 4:

Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển (1 + 2x)²⁰.

Xem lời giải »

Câu 5:

Cho A, B, C là ba tập hợp. Mệnh đề nào sau đây sai?

Xem lời giải »

Câu 6:

Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Gọi M là trung điểm OO’. Qua A, kẻ đường thẳng vuông góc với AM, cắt các đường tròn (O) và (O’) tại C và D. Chứng minh rằng tam giác MCD cân.

Xem lời giải »

Câu 7:

Cho hình bình hành ABCD. Gọi O là giao điểm của 2 đường chéo. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của OD và OB. Gọi E là giao điểm của AM và CD. Gọi F là giao điểm của CN và AB.

a) Chứng minh tứ giác AMCN là hình bình hành.

Xem lời giải »

Câu 8:

b) Tứ giác AECF là hình gì?

Xem lời giải »

❮ Bài trước Bài sau ❯

1000 bài tập trắc nghiệm ôn tập môn Toán có đáp án

cho a,b,c,d>0. cmr a^4/a^3 2b^3 b^4/b^3 2c^3 c^4/c^3 2d^3 d^4/d^3 2a^3>=a b c d/3

Xem thêm bài tập Toán có lời giải hay khác: