Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Gọi M là trung điểm OO’. Qua A, kẻ đường thẳng vuông góc với AM, cắt các đường tròn (O) và (O’) tại C và D. Chứng minh rằng tam giác MCD câ
Câu hỏi:
Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Gọi M là trung điểm OO’. Qua A, kẻ đường thẳng vuông góc với AM, cắt các đường tròn (O) và (O’) tại C và D. Chứng minh rằng tam giác MCD cân.
Trả lời:
Gọi E là trung điểm của AC.
Suy ra AE = CE và OE ⊥ AC (1)
Gọi F là trung điểm của AD.
Suy ra AF = FD và O’F ⊥ AD (2)
Từ (1), (2), suy ra OE // O’F.
Mà MA ⊥ CD (do giả thiết).
Do đó OE // MA // O’F.
Khi đó tứ giác OO’FE là hình thang có MA là đường trung bình (vì M là trung điểm OO’).
Suy ra A là trung điểm của EF.
Do đó AE = AF.
Vì vậy 2AE = 2AF.
Suy ra AC = AD.
Khi đó A là trung điểm của CD.
Tam giác MCD có MA vừa là đường trung tuyến, vừa là đường cao.
Vậy tam giác MCD cân tại M.
