Cho a, b, c là 3 cạnh trong tam giác. Chứng minh rằng: a/(b+c-a) + b/(a+c-b) +c/(a+b-c) lớn hơn bằng 3

Câu hỏi:

Cho a, b, c là 3 cạnh trong tam giác. Chứng minh rằng: $\frac{a}{b + c - a} + \frac{b}{a + c - b} + \frac{c}{a + b - c} \geq 3$ .

Trả lời:

Đặt: $\{\begin{cases} x = b + c - a \\ y = a + c - b \\ z = a + b - c \end{cases}$

$\Rightarrow \{\begin{cases} x + y = (b + c - a) + (a + c - b) = 2 c \\ y + z = (a + c - b) + (a + b - c) = 2 a \\ x + z = (b + c - a) + (a + b - c) = 2 b \end{cases}$

Khi đó $A = \frac{a}{b + c - a} + \frac{b}{a + c - b} + \frac{c}{a + b - c}$

$\Rightarrow 2 A = \frac{2 a}{b + c - a} + \frac{2 b}{a + c - b} + \frac{2 c}{a + b - c}$

$= \frac{y + z}{x} + \frac{x + z}{y} + \frac{x + y}{z}$

$= \frac{y}{x} + \frac{z}{x} + \frac{x}{y} + \frac{z}{y} + \frac{x}{z} + \frac{y}{z}$

$= (\frac{y}{x} + \frac{x}{y}) + (\frac{z}{y} + \frac{y}{z}) + (\frac{z}{x} + \frac{x}{z})$

Với a, b, c là ba cạnh của tam giác, thì:

$\{\begin{cases} b + c > a \\ a + c > b \\ a + b > c \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} b + c - a > 0 \\ a + c - b > 0 \\ a + b - c > 0 \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} x > 0 \\ y > 0 \\ z > 0 \end{cases}$

Áp dụng BĐT Cô-si cho $\frac{y}{x}, \frac{x}{y}$ với x, y > 0 ta có:

$\frac{y}{x} + \frac{x}{y} \geq 2 \sqrt{\frac{y}{x} . \frac{x}{y}} = 2$

Chứng minh tương tự như vậy, ta cũng được:

$\frac{z}{y} + \frac{y}{z} \geq 2; \frac{z}{x} + \frac{x}{z} \geq 2$

Do đó:

$2 A = (\frac{y}{x} + \frac{x}{y}) + (\frac{z}{y} + \frac{y}{z}) + (\frac{z}{x} + \frac{x}{z}) \geq 2 + 2 + 2 = 6$

$\Rightarrow A = (\frac{y}{x} + \frac{x}{y}) + (\frac{z}{y} + \frac{y}{z}) + (\frac{z}{x} + \frac{x}{z}) \geq 3$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: x = y = z.

Suy ra: a = b = c.

Vậy $\frac{a}{b + c - a} + \frac{b}{a + c - b} + \frac{c}{a + b - c} \geq 3$ khi a = b = c.

Xem thêm bài tập Toán có lời giải hay khác:

Câu 1:

Đa thức P (x) = 32x⁵ − 80x⁴ + 80x³ − 40x² + 10x − 1 là khai triển của nhị thức nào dưới đây?

Xem lời giải »

Câu 2:

Cho đoạn thẳng AB. Vị trí của điểm M thỏa mãn: $2 \vec{M A} + 3 \vec{M B} = \vec{0}$ được xác định bởi:

Xem lời giải »

Câu 3:

Cho hai điểm A, B phân biệt. Xác định điểm M biết $2 \vec{M A} - 3 \vec{M B} = \vec{0}$ .

Xem lời giải »

Câu 4:

Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh tam giác. Chứng minh rằng:

$\frac{a b}{a + b - c} + \frac{b c}{b + c - a} + \frac{c a}{c + a - b} \geq a + b + c$ .

Xem lời giải »

Câu 5:

Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC có A(5; 2), phương trình đường trung trực cạnh BC, đường trung tuyến CC' lần lượt là d: x + y − 6 = 0 và d': 2x − y + 3 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của ∆ABC.

Xem lời giải »

Câu 6:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có $M (- \frac{5}{2}; - 1), N (- \frac{3}{2}; - \frac{7}{2}), P (0; \frac{1}{2})$ lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB. Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.

Xem lời giải »

Câu 7:

Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J lần lượt thuộc các cạnh AD, BC sao cho IA = 2ID và JB = 2JC. Gọi (P) là mặt phẳng qua IJ và song song với AB. Tìm thiết diện của mặt phẳng (P) và tứ diện ABCD.

Xem lời giải »

❮ Bài trước Bài sau ❯

1000 bài tập trắc nghiệm ôn tập môn Toán có đáp án

Cho a, b, c là 3 cạnh trong tam giác. Chứng minh rằng: a/(b+c-a) + b/(a+c-b) +c/(a+b-c) lớn hơn bằng 3

Xem thêm bài tập Toán có lời giải hay khác: