Cho các số dương x, y, z thỏa mãn xyz = 1. Khi đó giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Câu hỏi:
Cho các số dương x, y, z thỏa mãn xyz = 1. Khi đó giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \frac{{\sqrt {1 + {x^3} + {y^3}} }}{{xy}} + \frac{{\sqrt {1 + {y^3} + {z^3}} }}{{yz}} + \frac{{\sqrt {1 + {z^3} + {x^3}} }}{{zx}}\) là:
A. \(3\sqrt[3]{3}\).
B. \(3\sqrt 3 \).
C. \(\frac{{3\sqrt[3]{3}}}{2}\).
D. \(\frac{{3\sqrt 3 }}{2}\).
Trả lời:
Đáp án đúng là: B
Áp dụng BĐT Cô−si, ta có: \(1 + {x^3} + {y^3} \ge 3xy \Rightarrow \frac{{\sqrt {1 + {x^3} + {y^3}} }}{{xy}} \ge \frac{{\sqrt 3 }}{{\sqrt {xy} }} = \sqrt {3z} \).
Tương tự, ta có: \(\frac{{\sqrt {1 + {y^3} + {z^3}} }}{{yz}} \ge \sqrt {3x} ,\frac{{\sqrt {1 + {z^3} + {x^3}} }}{{zx}} \ge \sqrt {3y} \).
Suy ra: \(P \ge \sqrt {3x} + \sqrt {3y} + \sqrt {3z} \ge 3\sqrt 3 \sqrt[3]{{\sqrt {xyz} }} = 3\sqrt 3 \).
Dấu đẳng thức xảy ra ⇔ x = y = z = 1.
Vậy \({\rm{min}}P = 3\sqrt 3 \).
Đáp án cần chọn là: B
