Gọi Bn là tập hợp bội số của n trong tập Z các số nguyên. Sự liên hệ giữa m và n sao

Gọi B_n là tập hợp bội số của n trong tập Z các số nguyên. Sự liên hệ giữa m và n sao cho B_n ∩ B_m = B_mn là:

A. m là bội số của n,

B. n là bội số của m.

C. m, n nguyên tố cùng nhau.

D. m, n đều là số nguyên tố.

Đáp án đúng là: C

Ta có: B_n = {x ∈ ℤ, x ⋮ n}, B_m = {x ∈ ℤ, x ⋮ m}, B_mn = {x ∈ ℤ, x ⋮ mn},

Rõ ràng \(x \vdots mn \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \vdots m}\\{x \vdots n}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \in {B_m}}\\{x \in {B_n}}\end{array}} \right.} \right.\)

⇒ x ∈ B_n ∩ B_m

Lại có \({B_n} \cap {B_m} = \left\{ {x \in \mathbb{Z}\mid x \vdots m,x \vdots n} \right\}\) nên để B_mn = B_n ∩ B_m thì B_n ∩ B_m ⊂ B_mn

\({B_{nn}} = {B_n} \cap {B_m}\) thì \({B_n} \cap {B_m} \subset {B_{nn}}\) hay mọi số nguyên chia hết cho m và n thì đều chia hết cho tích m.n. Điều này chi xảy ra khi m, n là hai số nguyên tố cùng nhau.