Cho đa giác đều 2018 đỉnh. Hỏi có bao nhiêu tam giác có đỉnh là đỉnh của đa giác

Gọi A₁, A₂, …, A₂₀₁₈ là các đỉnh của đa giác đều 2018 đỉnh.

Gọi (O) là đường tròn ngoại tiếp đa giác đều A₁ A₂… A₂₀₁₈ 

Các đỉnh của đa giác đều chia (O) thành 2018 cung tròn bằng nhau, mỗi cung tròn có số đo bằng \(\frac{{360^\circ }}{{2018}}\).

Vì tam giác cần đếm có đỉnh là đỉnh của đa giác nên các góc của tam giác là các góc nội tiếp của (O).

Suy ra góc lớn hơn 100° sẽ chắn cung có số đo lớn hơn 200°.

Cố định một đỉnh A_i. Có 2018 cách chọn A_i.

Gọi A_i, A_j, A_k là các đỉnh sắp thứ tự theo chiều kim đồng hồ sao cho số đo cung nhỏ A_i A_k < 160° thì số đo cung lớn A_i A_k > 360° − 160° = 200° 

\( \Rightarrow \widehat {{A_i}{A_j}{A_k}} > 100^\circ \) và tam giác A_i A_j A_k là tam giác cần đếm.

Khi đó cung A_iA_k là hợp liên tiếp của nhiều nhất \(\left[ {\frac{{160}}{{\frac{{360}}{{2018}}}}} \right] = 896\) cung tròn nói trên.

896 cung tròn này có 897 đỉnh.

Trừ đi đỉnh A_i thì còn 896 đỉnh.

Do đó có \(C_{896}^2\) cách chọn hai đỉnh A_j, A_k.

Vậy có tất cả \(2018\,.\,C_{896}^2\) tam giác thỏa mãn yêu cầu bài toán.