Cho đồ thị hàm số bậc ba như hình vẽ. Hỏi đồ thị hàm số có bao nhiêu

Câu hỏi:

Cho đồ thị hàm số bậc ba $y=f\left(x\right)$ như hình vẽ. Hỏi đồ thị hàm số

$y=\frac{\left(x^2+4x+3\right)\sqrt{x^2+x}}{x\left[f^2\left(x\right)-2f\left(x\right)\right]}$ có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?

A. 6

B. 3

C. 2

D. 4

Trả lời:

Ta có:$y=\frac{\left(x^2+4x+3\right)\sqrt{x^2+x}}{x\left[f^2\left(x\right)-2f\left(x\right)\right]}=\frac{\left(x+1\right)\left(x+3\right)\sqrt{x^2+x}}{x.f\left(x\right)\left[f\left(x\right)-2\right]}$

ĐK:  $\left\{\begin{array}{c}x\left(x+1\right)\ge 0\\ x\ne 0\\ f\left(x\right)\ne 0\\ f\left(x\right)\ne 2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}x\in \left(-\infty ;-1\right]\cup \left(0;+\infty \right)\\ f\left(x\right)\ne 0\\ f\left(x\right)\ne 2\end{array}\right.$

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy phương trình $f\left(x\right)=0$ có nghiệm kép x = - 3 và 1 nghiệm $x=a\in \left(-1;0\right)$, khi đó  $f\left(x\right)=m{\left(x+3\right)}^2\left(x-a\right)\left(m\ne 0\right)$

Xét phương trình $f\left(x\right)-2=0\iff f\left(x\right)=2$ phương trình có 3 nghiệm phân biệt $x=-1;x=b\in \left(-3;-1\right);x=c\in \left(-\infty ;-3\right)$

, khi đó  $f\left(x\right)-2=n\left(x+1\right)\left(x-b\right)\left(x-c\right)$

Khi đó điều kiện xác định là:  $\left\{\begin{array}{c}x\in \left(-\infty ;-1\right)\cup \left(0;+\infty \right)\\ x\ne -3\\ x\ne b;x\ne c\end{array}\right.$

$\Rightarrow y=\frac{\left(x+3\right)\left(x+1\right)\sqrt{x^2+x}}{x.m{\left(x+3\right)}^2\left(x-a\right).n\left(x+1\right)\left(x-b\right)\left(x-c\right)}$

$=\frac{\left(x+1\right)\sqrt{x^2+x}}{mn.x\left(x+3\right)\left(x-a\right)\left(x-b\right)\left(x-c\right)}$

Khi $x=a\in \left(-1;0\right)$ $\Rightarrow$  hàm số không xác định

Vậy đồ thị hàm số có 4 TCĐ là  $x=0;x=-3;x=b;x=c$

Đáp án cần chọn là: D