Cho đường tròn (O; R) và điểm A cố định ngoài đường tròn. Vẽ đường thẳng d vuông
Câu hỏi:
Cho đường tròn (O; R) và điểm A cố định ngoài đường tròn. Vẽ đường thẳng d vuông góc với OA tại A. Trên d lấy M. Qua M kẻ tiếp tuyến ME, MF với (O). Nối EF cắt OM tại H, cắt OA tại B.
a) Chứng minh tứ giác ABHM nội tiếp.
b) Chứng minh OA.OB = OH.OM = R2.
Trả lời:
a) Do ME, MF là tiếp tuyến với đường tròn suy ra ME = MF nên M thuộc đường trung trực của EF.
Ta có OE = OF nên O thuộc đường trung trực của EF.
Do đó OM là đường trung trực của EF.
⇒ EF ⊥ OM.
Tứ giác ABHM có ^BAM=^BHM=90∘, mà hai góc này ở vị trí đối nhau nên tứ giác này nội tiếp đường tròn bán kính MB.
b) Xét ∆OHB và ∆OAM có:
^OHB=^OAM=90∘; ^MOA chung
(g.g)
⇒OHOA=OBAM
⇒ OA.OB = OH.OM (1)
Xét ∆OHE và ∆OEM có:
^OHE=^OEM=90∘; ^MOE chung
Do đó (g.g)
Suy ra OHOE=OEOM
Hay OH.OM = OE2 (2)
Từ (1) và (2) suy ra OA.OB = OH.OM = OE2 = R2.
