Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình y = căn bậc ba (m + 3 căn bậc ba
Câu hỏi:
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình \(\sqrt[3]{{m + 3\sqrt[3]{{m + 3\sin x}}}} = \sin x\) có nghiệm thực?
A. 5;
B. 7;
C. 3;
D. 2.
Trả lời:
Đáp án đúng là: A
Đặt \(\sqrt[3]{{m + 3\sin x}} = a\); sinx = b.
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\sqrt[3]{{m + 3a}} = b\\\sqrt[3]{{m + 3b}} = a\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m + 3a = {b^3}\\m + 3b = {a^3}\end{array} \right.\)
⇒ 3(a – b) = b3 – a3 = (b – a)(b2 + ba + a2)
⇔ (b – a)(b2 + ba + a2 + 3) = 0
Do b2 + ba + a2 + 3 > 0 ⇒ a = b = m + 3sinx = sin3x
⇔ m = sin3x – 3sinx = b3 – 3b = f(b).
Xét f(b) = b3 – 3b (b ∈ [−1; 1]).
Do đó hàm số f(b) nghịch biến trên [−1; 1].
Khi đó f(b) ∈ [f(1); f(−1)] = [−2; 2].
Do đó phương trình đã cho có nghiệm ⇔ m ∈ [−2; 2].
Vậy có 5 giá trị nguyên của m thỏa mãn.
